まどか☆マギカ第9話でクラスメイトが解いていた,ホワイトボード書かれていた数学の問題.「答えよ」と書かれていたので,答えてみた.

例題

問題

  1. X_1=1
  2. X_nのある桁を\alphaが0ならば\alphaを1で置き換え,\alphaが1ならば\alphaを'10'で置き換える.X_nの各桁ごとにこのような置き換えを行って得られる自然数をX_{n+1}とする.

問題(1)

問題(2)

解法

問題(1)

X_nの中の1の数をI_n,0の数をO_nと置く.

問題文より

a_n=I_n+O_n

である.(自明)
規則2より

\left{\begin{array}{l}I_n=I_{n-1}+O_{n-1}\\O_n=I_{n-1}\end{array}

が成り立つ. 今,O_{n-1}I_nで置き換えると

\left{\begin{array}{l}I_n=I_{n-1}+I_{n-2}\\O_n=I_{n-1}\end{array}

と変わり,I_nがフィボナッチ数列と同じになる. I_1=1I_2=1より,

I_n=p_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}

となる.よって,

O_n=I_{n-1}=p_{n-1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\right\}

となる.
ここで,a_nを書き換えると,フィボナッチ数列の定義より,

a_n=I_n+O_n=p_n+p_{n-1}=p_{n+1}

となる.よって

a_n=p_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right\}

となる.

問題(2)

#stub

b_n=b_{n-2}+b_{n-1}+c_n

となる.ここでc_n

c_n=\left\{\begin{array}{ccl}1&:&n=even\\0&:&else\end{array}

よって,(to be written)

b_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}+1-c_n

コメント

見滝原中学校の授業で出題されていた1992年の東大入試問題である.

ジャンル:数学


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