有名な問題?

 100人の生徒がいる.全員の誕生日を調べ,最低1組以上誕生日が重なる生徒が現れる確率を求めよ
 (ただし,このクラスに2月29日生まれはいないものとする)

*解法 [#j3659c08]
-全員がばらばらの誕生日である確率を求める
-問題は↑と背反の事象なので1から引けばよい
-n人の誕生日が全部ばらばらである確率を&mimetex(p\(n\));で表すと

-&mimetex(p\(1\)=1);

-&mimetex(p\(2\)=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365});

-&mimetex(p\(3\)=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365});

-&mimetex(p\(n\)=\prod_{i=1}^{n}\frac{366-i}{365}=\frac{1}{365^n}\cdot\frac{365!}{(365-n)!});

-答えは&mimetex(1-\frac{1}{365^n}\cdot\frac{365!}{(365-n)!});

*解法(もし2月29日生まれがいたら) [#nabd9c5a]
-いたとしても上記の式を365から366に(そして366を367に)書き換えれば基本的に同じ.
-2月29日の存在確率が他の誕生日に比べ&mimetex(\frac{1}{4});だとしても基本的には同じ
-よっぽどミソなのはこれが予想外に高い確率でかぶるという結果.

*実際の値 [#b411e7a2]
-Gnuplotでプロットしてみた
&ref(birthday.png);
--緑の線はy=0.5とx=23
--緑の線はp(n)=0.5とn=23
--縦軸が対数軸になってるのに注目
-数値
|n|&mimetex(p\(n\));|&mimetex(f\(n\));|
|1|1|0|
|10|0.861218|0.138782|
|22|0.524304|0.475696|
|23|0.492703|0.507297|
|50|0.025638|0.974362|
|70|0.000681|0.999319|
|100|0.0000002|0.9999998((伊吹マヤ:「本部命中率、シックスナインです!!」))|

*次のお題 [#o89141af]
 100人の生徒がいる.全員の誕生日を調べ,同じ誕生日の生徒が少なくとも3人重なる組が現れる確率を求めよ
 (ただし,このクラスに2月29日生まれはいないものとする)


[[:数学]]



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