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-変換前を&mimetex(\bf{x});、変換後を&mimetex(\bf{x}^\prime);、ホモグラフィを&mimetex(\rm{H});として、次式で表せる
-&mimetex(\rm{H}\bf{x}=s\bf{x}^\prime);
-ここで、ホモグラフィ行列&mimetex(\rm{H});も斉次座標&mimetex(\bf{x});、&mimetex(\bf{x}^\prime);も、スケーリングの不定性がある
-言い換えれば、右辺だけ2倍しても等式が成り立ってしまう
-その不定性を表すために、右辺にスケールファクターとして&mimetex(s);を導入した
-各ベクトル、行列を要素ごとに書くと、次式のようになる

#mimetex(\left(\begin{array}{cccc}h_{11}&h_{12}&h_{13}&h_{14}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&h_{24}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}&h_{34}\\h_{41}&h_{42}&h_{43}&1\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}sx^\prime\\sy^\prime\\sz^\prime\\s\\\end{array}\right))

-ホモグラフィのスケーリングを固定するために、&mimetex(h_{44}=1);とする
-この行列式を分解すると、下記の4本の方程式が導出される

#mimetex(\left\{\begin{array}{l}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}=sx^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}=sy^\prime\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}=sz^\prime\\h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1=s\\\end{array})
#mimetex(\left\{\begin{array}{l}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}&=&sx^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}&=&sy^\prime\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}&=&sz^\prime\\h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1&=&s\\\end{array})

-ただ、4本の方程式それぞれは&mimetex(s);に関して従属性があるので、独立な方程式は2本得られる
-ただ、4本の方程式それぞれは&mimetex(s);に関して従属性があるので、独立な方程式は3本得られる
-4本の式から&mimetex(s);を消去して次の3式を得る

#mimetex(\left\{\begin{array}{l}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}=\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)x^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}=\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)y^\prime\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}=\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)z^\prime\\\end{array})
#mimetex(\left\{\begin{array}{l}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}&=&\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)x^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}&=&\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)y^\prime\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}&=&\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)z^\prime\\\end{array})

-&mimetex(\rm{H});のパラメータを含む項だけを左辺に移して整理して、次の3式を得る

#mimetex(\left\{\begin{array}{c}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}-h_{41}xx^\prime-h_{42}yx^\prime-h_{43}zx^\prime&=x^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}-h_{41}xy^\prime-h_{42}yy^\prime-h_{43}zy^\prime&=y^\prime\\\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}-h_{41}xz^\prime-h_{42}yz^\prime-h_{42}zz^\prime&=z^\prime\\\end{array})

-これを行列の形で表すと,次式になる

#mimetex(\left(\begin{array}{ccccccccccccccc}x&y&z&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-xx^\prime&-yx^\prime&-zx^\prime\\0&0&0&0&x&y&z&1&0&0&0&0&-xy^\prime&-yy^\prime&-zy^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x&y&z&1&-xz^\prime&-yz^\prime&-zz^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{array}\right))
#mimetex(\left(\begin{array}{ccccccccccccccc}x&y&z&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-xx^\prime&-yx^\prime&-zx^\prime\\0&0&0&0&x&y&z&1&0&0&0&0&-xy^\prime&-yy^\prime&-zy^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x&y&z&1&-xz^\prime&-yz^\prime&-zz^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{14}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{array}\right))

-この連立方程式を解けばホモグラフィの15個のパラメータ&mimetex(h_{11}-h_{43});が求まる
-1つの対応点から得られる方程式は3本
-よって15÷3で5組の対応点が必要となる
-今&mimetex(\bf{x}_i=\left(\begin{array}{c}x_i & y_i & z_i\\\end{array}\right));という点を5組導入すると,次式のように書き換えられる

#mimetex(\left(\begin{array}{ccccccccccccccc}x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_1x_1^\prime&-y_1x_1^\prime&-z_1x_1^\prime\\0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&-x_1y_1^\prime&-y_1y_1^\prime&-z_1y_1^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&-x_1z_1^\prime&-y_1z_1^\prime&-z_1z_1^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{array}\right))
#mimetex(\left(\begin{array}{ccccccccccccccc}x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_1x_1^\prime&-y_1x_1^\prime&-z_1x_1^\prime\\0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&-x_1y_1^\prime&-y_1y_1^\prime&-z_1y_1^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&-x_1z_1^\prime&-y_1z_1^\prime&-z_1z_1^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{14}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1^\prime\\y_1^\prime\\z_1^\prime\end{array}\right))

#mimetex(\left(\begin{array}{cccccccc}x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&-x_1x_1^\prime&-y_1x_1^\prime\\0&0&0&x_1&y_1&1&-x_1y_1^\prime&-y_1y_1^\prime\\x_2&y_2&1&0&0&0&-x_2x_2^\prime&-y_2x_2^\prime\\0&0&0&x_2&y_2&1&-x_2y_2^\prime&-y_2y_2^\prime\\x_3&y_3&1&0&0&0&-x_3x_3^\prime&-y_3x_3^\prime\\0&0&0&x_3&y_3&1&-x_3y_3^\prime&-y_3y_3^\prime\\x_4&y_4&1&0&0&0&-x_4x_4^\prime&-y_4x_4^\prime\\0&0&0&x_4&y_4&1&-x_4y_4^\prime&-y_4y_4^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{31}\\h_{32}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1^\prime\\y_1^\prime\\x_2^\prime\\y_2^\prime\\x_3^\prime\\y_3^\prime\\x_4^\prime\\y_4^\prime\\\end{array}\right))
#mimetex(\left(\begin{array}{c}x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_1x_1^\prime&-y_1x_1^\prime&-z_1x_1^\prime\\0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&-x_1y_1^\prime&-y_1y_1^\prime&-z_1y_1^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&-x_1z_1^\prime&-y_1z_1^\prime&-z_1z_1^\prime\\x_2&y_2&z_2&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_2x_2^\prime&-y_2x_2^\prime&-z_2x_2^\prime\\0&0&0&0&x_2&y_2&z_2&1&0&0&0&0&-x_2y_2^\prime&-y_2y_2^\prime&-z_2y_2^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_2&y_2&z_2&1&-x_2z_2^\prime&-y_2z_2^\prime&-z_2z_2^\prime\\x_3&y_3&z_3&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_3x_3^\prime&-y_3x_3^\prime&-z_3x_3^\prime\\0&0&0&0&x_3&y_3&z_3&1&0&0&0&0&-x_3y_3^\prime&-y_3y_3^\prime&-z_3y_3^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_3&y_3&z_3&1&-x_3z_3^\prime&-y_3z_3^\prime&-z_3z_3^\prime\\x_4&y_4&z_4&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_4x_4^\prime&-y_4x_4^\prime&-z_4x_4^\prime\\0&0&0&0&x_4&y_4&z_4&1&0&0&0&0&-x_4y_4^\prime&-y_4y_4^\prime&-z_4y_4^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_4&y_4&z_4&1&-x_4z_4^\prime&-y_4z_4^\prime&-z_4z_4^\prime\\x_5&y_5&z_5&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_5x_5^\prime&-y_5x_5^\prime&-z_5x_5^\prime\\0&0&0&0&x_5&y_5&z_5&1&0&0&0&0&-x_5y_5^\prime&-y_5y_5^\prime&-z_5y_5^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_5&y_5&z_5&1&-x_5z_5^\prime&-y_5z_5^\prime&-z_5z_5^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{13}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1^\prime\\y_1^\prime\\z_1^\prime\\x_2^\prime\\y_2^\prime\\z_2^\prime\\x_3^\prime\\y_3^\prime\\z_3^\prime\\x_4^\prime\\y_4^\prime\\z_4^\prime\\x_5^\prime\\y_5^\prime\\z_5^\prime\\\end{array}\right))
-両辺それぞれ行列&mimetex(\rm{A});、&mimetex(\rm{X});、&mimetex(\rm{B});の行列で書き換えると次式になる

#mimetex(\rm{A}\rm{X}=\rm{B})

-ここで&mimetex(\rm{A});、&mimetex(\rm{B});は既知、&mimetex(\rm{X});が未知である
-&mimetex(\rm{A});が正方行列の場合
--[[&mimetex(\rm{A}^{-1}\rm{B}=\rm{X});>逆行列の計算]]となるので、パラメータ(=ホモグラフィ)が求められる
-&mimetex(\rm{A});が非正方行列の場合
--4点以上からホモグラフィを推定する場合は、&mimetex(\rm{A});は非正方行列になる
--5点以上からホモグラフィを推定する場合は、&mimetex(\rm{A});は非正方行列になる


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