お試しかっ!帰れま10で食べる皿の期待値
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#contents
[[テレビ朝日>http://www.tv-asahi.co.jp/]]系列のバラエティ...
簡単に終わるかと思ったが,思いの外難航し,2年以上悩まされ...
&mimetex(E=\sum_{k=1}^{n+m}p\(k\)k);
#書き途中です
*概要 [#uf4da1a7]
'''テレビ朝日バラエティー番組「お試しかっ! 」内のコーナー...
'''タカトシを含め6人の芸人でロケ先の店舗の人気メニュー上...
¬e{wiki-kaerema10-refer:[[Wikipedia:http://ja.wikipedi...
これを数学的に解析しよう.果たして,当てるためには大体ど...
-上位10位外のはずれがm品
-上位10位内のあたりが10品(ここではnとおく)
-m+n品の食事の中から,ランダムに食事を選び,あたりのn品全...
-1度選択した食事はもう選択しない
番組ではn=10,mはロケを敢行するお店によりけりだが,ここで...
*n=1の場合(最も簡単なパターン) [#kef27c3c]
まずは,最も簡単なm=1,n=1の場合を考えよう.つまりあたり...
-1回目にあたりを引く
-2回目にあたりを引く
それぞれの事象が起こる確率は50%ずつなので,
#mimetex(E=1 \times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{2}=1.5)
で1.5回が期待値になる.ここでEが期待値を表し,大体どれぐ...
*n=1における一般化 [#e05050d1]
n=1の場合,問題は言い換えると,「''何回目にあたりを引くか...
そして,各事象(あたりを引くこと)は等確率である.
よって,n=1の場合,食べる皿の期待値は以下のように求められ...
#mimetex(E=\sum_{k=1}^{m+1}k\frac{1}{m+1}=\frac{1}{m+1}\c...
#mimetex(=\frac{1}{2}m+1)
が,問題はn=10のときなので,あんまり意味が無い.
*一般化する前に [#k06f2327]
一般化する前に,下記の図で考える.下記の図はn=1,m=3の状...
ゴールは最上部に到達することであり,到達方法によって試行...
#ref(図1.png)
各頂点に到達する経路は1通りずつしかなく,よって終了する方...
#ref(n1m3.png)
こう考えると,帰れま10における試行回数は,前述の図で表...
''最上部まで到達するのに,何回頂点間を移動すれば良いか''...
*n=2の場合 [#nfc9c9ad]
n=2の場合,経路図を描くと下記の様になる.(m=3,n=2の場合)
#ref(n2m3.png)
注目すべき点は,以下の2点である.
-n=2,つまり正解が2品になったので,ゴールのために最短でも...
-試行数(Step)ごとに経路数が異なる
この時の期待値Eは
#mimetex(E=\sum_{k=2}^{m+2}p\(k\)k=\frac{1}{10}2+\frac{2}...
となり,ゴールするための期待値は4回(食)ということになる.~
この式を括ると,
#mimetex(E=\frac{1}{10}2+\frac{2}{10}3+\frac{3}{10}4+\fra...
となり,
((ステップ数×経路数)の和)÷経路の総数
となる.
*n=2における一般化 [#tbd40c5e]
経路の総数をMで表すと,Mは1からm+1までの総和なので以下の...
#mimetex(M=\frac{(m+1)(m+2)}{2});
各ゴールの経路数とステップ数はそれぞれ2からm+2まで,1から...
#mimetex(k\cdot (k-1));
以下の式
((ステップ数×経路数)の和)÷経路の総数
をmを使って一般化すると,以下のようになる
#mimetex(E=\frac{1}{M}\sum_{k=2}^{m+2}k\cdot(k-1)=\frac{2...
さらに式を展開する
#mimetex(E=\frac{1}{M}\sum_{k=2}^{m+2}k\cdot(k-1)\\=\frac...
&mimetex(\Sigma);内のkの式を展開し,総和を求める区間によ...
#mimetex(E=\frac{2}{(m+1)(m+2)}((\frac{1}{6}(m+2)(m+3)(2m...
となる.分子分母それぞれ3倍して後ろの項を整理し,共通項で...
#mimetex(=\frac{1}{3(m+1)(m+2)}((m+2)(m+3)(2m+5)-3(m+2)(m...
となる.
実際にm=3,n=2の場合に当てはめると,&mimetex(E=\frac{2m}{3...
*一般化 [#v1f457a0]
とりあえずここまでわかってる結果をまとめると
|&mimetex(n=1);|&mimetex(\frac{1}{2}m+1);|
|&mimetex(n=2);|&mimetex(\frac{2}{3}m+2);|
なので,おそらく
#mimetex(E=\frac{n}{n+1}m + n);
ということが言えそうである.
というわけで,期待値の一般式を求めてみる.~
基本的には,
#mimetex(E=\sum_{k=n}^{n+m}p\(k\)k);
である.総和の区間が&mimetex([n,n+m]);なのは,図からも分...
それらの可能性&mimetex(p(k));と試行回数の積和で期待値が求...
#ref(general-nm.png)
さてこの&mimetex(p(k));がクセモノであるが,冷静に観察して...
上にも示した図を,広く書いてると,2つの特徴が見えてくる.
一つ目は,nを固定した場合の数列,つまり各頂点での数字は右...
当たりをa枚,ハズレをb枚食べる組み合わせは&mimetex({}_{a+...
二つ目は,その総和が&mimetex({}_{n+m+1} \mathrm{C}_{n+1})...
これも,数列の総和で一つ上の数列が表されているので,自明...
さて,実際の問題場合は,「ハズレを食べて終了」ということ...
よって確率&mimetex(p(k));は以下のように展開でき
#mimetex(p(k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{n-1}}{{}_{n+m}\ma...
期待値Eは以下のように展開できる.
#mimetex(E=\sum_{k=n}^{n+m}p\(k\)k\\=\sum_{k=n}^{n+m}\fra...
ここで,組み合わせ&mimetex({}_a \mathrm{C}_b = \frac{a!}{...
#mimetex(E=\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{n-1}...
展開して得られた項のうち,kを含まない形の項を&mimetex(\Si...
#mimetex(E=\frac{m!n!}{(n+m)!}\frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=n}^...
さて,ここで行き詰まった.&mimetex(\sum_{k=n}^{n+m}{}_k\m...
#mimetex(\sum_{k=1}^{a}{}_k \mathrm{P}_b=\frac{1}{(b+1)}\...
が成り立つっぽい.ここでは成り立つとして,式に当てはめる.
#mimetex(E=\frac{m!n!}{(n+m)!}\frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=n}^...
途中で&mimetex(\frac{1}{(n+1)}n(n-1)\cdots(n-n));の項を消...
よって,食べる食事の期待値は,当たりをn種類,ハズレをm種...
#mimetex(E=\frac{n}{n+1}m + n);
によって表される.
残るところは&mimetex(\sum_{k=1}^{a}{}_k \mathrm{P}_b=\fra...
案外キレイな形にまとまったものである.
帰れま10ではn=10なので,
#mimetex(E=\frac{10}{11}m + 10);
ちなみに,過去の放送回から計算される期待値と実際にロケで...
|放送回|品数|m|n|期待値|食事回数|
|22|100|90|10|91.82|22|
|34|92|82|10|84.55|31|
|36|133|123|10|121.82|30|
|47|116|106|10|106.36|31|
|49|106|96|10|97.27|30|
|53|84|74|10|77.27|35|
|68|102|92|10|93.64|29|
|76|75|65|10|69.09|33|
|81|97|87|10|89.09|42|
ランダムで選択してるといつまで経っても終わらない(ゆうに10...
こう見ると,悩んで選択してるのが如何に有用かが分かる.
*参考 [#t905ad9c]
-[[数学とクイズでくつろいで>http://kuturoide.starfree.jp/...
*パーフェクトを実際達成 [#o4765887]
-2013年1月21日放送分のチャレンジで本当にパーフェクトを達...
-「らあめん花月嵐」さんでの収録で、品数は全41品。
-結局10品連続で当ててパーフェクト達成した。
-この確率はどれぐらいだったのか?
-全品数の選び方は順序も含めると41!通り。うち、正解は10品...
-数字にして、だいたい &mimetex(\frac{10!}{41!}\approx1.08...
-10の43乗分の1って……
ジャンル[[:数学]]
終了行:
#contents
[[テレビ朝日>http://www.tv-asahi.co.jp/]]系列のバラエティ...
簡単に終わるかと思ったが,思いの外難航し,2年以上悩まされ...
&mimetex(E=\sum_{k=1}^{n+m}p\(k\)k);
#書き途中です
*概要 [#uf4da1a7]
'''テレビ朝日バラエティー番組「お試しかっ! 」内のコーナー...
'''タカトシを含め6人の芸人でロケ先の店舗の人気メニュー上...
¬e{wiki-kaerema10-refer:[[Wikipedia:http://ja.wikipedi...
これを数学的に解析しよう.果たして,当てるためには大体ど...
-上位10位外のはずれがm品
-上位10位内のあたりが10品(ここではnとおく)
-m+n品の食事の中から,ランダムに食事を選び,あたりのn品全...
-1度選択した食事はもう選択しない
番組ではn=10,mはロケを敢行するお店によりけりだが,ここで...
*n=1の場合(最も簡単なパターン) [#kef27c3c]
まずは,最も簡単なm=1,n=1の場合を考えよう.つまりあたり...
-1回目にあたりを引く
-2回目にあたりを引く
それぞれの事象が起こる確率は50%ずつなので,
#mimetex(E=1 \times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{2}=1.5)
で1.5回が期待値になる.ここでEが期待値を表し,大体どれぐ...
*n=1における一般化 [#e05050d1]
n=1の場合,問題は言い換えると,「''何回目にあたりを引くか...
そして,各事象(あたりを引くこと)は等確率である.
よって,n=1の場合,食べる皿の期待値は以下のように求められ...
#mimetex(E=\sum_{k=1}^{m+1}k\frac{1}{m+1}=\frac{1}{m+1}\c...
#mimetex(=\frac{1}{2}m+1)
が,問題はn=10のときなので,あんまり意味が無い.
*一般化する前に [#k06f2327]
一般化する前に,下記の図で考える.下記の図はn=1,m=3の状...
ゴールは最上部に到達することであり,到達方法によって試行...
#ref(図1.png)
各頂点に到達する経路は1通りずつしかなく,よって終了する方...
#ref(n1m3.png)
こう考えると,帰れま10における試行回数は,前述の図で表...
''最上部まで到達するのに,何回頂点間を移動すれば良いか''...
*n=2の場合 [#nfc9c9ad]
n=2の場合,経路図を描くと下記の様になる.(m=3,n=2の場合)
#ref(n2m3.png)
注目すべき点は,以下の2点である.
-n=2,つまり正解が2品になったので,ゴールのために最短でも...
-試行数(Step)ごとに経路数が異なる
この時の期待値Eは
#mimetex(E=\sum_{k=2}^{m+2}p\(k\)k=\frac{1}{10}2+\frac{2}...
となり,ゴールするための期待値は4回(食)ということになる.~
この式を括ると,
#mimetex(E=\frac{1}{10}2+\frac{2}{10}3+\frac{3}{10}4+\fra...
となり,
((ステップ数×経路数)の和)÷経路の総数
となる.
*n=2における一般化 [#tbd40c5e]
経路の総数をMで表すと,Mは1からm+1までの総和なので以下の...
#mimetex(M=\frac{(m+1)(m+2)}{2});
各ゴールの経路数とステップ数はそれぞれ2からm+2まで,1から...
#mimetex(k\cdot (k-1));
以下の式
((ステップ数×経路数)の和)÷経路の総数
をmを使って一般化すると,以下のようになる
#mimetex(E=\frac{1}{M}\sum_{k=2}^{m+2}k\cdot(k-1)=\frac{2...
さらに式を展開する
#mimetex(E=\frac{1}{M}\sum_{k=2}^{m+2}k\cdot(k-1)\\=\frac...
&mimetex(\Sigma);内のkの式を展開し,総和を求める区間によ...
#mimetex(E=\frac{2}{(m+1)(m+2)}((\frac{1}{6}(m+2)(m+3)(2m...
となる.分子分母それぞれ3倍して後ろの項を整理し,共通項で...
#mimetex(=\frac{1}{3(m+1)(m+2)}((m+2)(m+3)(2m+5)-3(m+2)(m...
となる.
実際にm=3,n=2の場合に当てはめると,&mimetex(E=\frac{2m}{3...
*一般化 [#v1f457a0]
とりあえずここまでわかってる結果をまとめると
|&mimetex(n=1);|&mimetex(\frac{1}{2}m+1);|
|&mimetex(n=2);|&mimetex(\frac{2}{3}m+2);|
なので,おそらく
#mimetex(E=\frac{n}{n+1}m + n);
ということが言えそうである.
というわけで,期待値の一般式を求めてみる.~
基本的には,
#mimetex(E=\sum_{k=n}^{n+m}p\(k\)k);
である.総和の区間が&mimetex([n,n+m]);なのは,図からも分...
それらの可能性&mimetex(p(k));と試行回数の積和で期待値が求...
#ref(general-nm.png)
さてこの&mimetex(p(k));がクセモノであるが,冷静に観察して...
上にも示した図を,広く書いてると,2つの特徴が見えてくる.
一つ目は,nを固定した場合の数列,つまり各頂点での数字は右...
当たりをa枚,ハズレをb枚食べる組み合わせは&mimetex({}_{a+...
二つ目は,その総和が&mimetex({}_{n+m+1} \mathrm{C}_{n+1})...
これも,数列の総和で一つ上の数列が表されているので,自明...
さて,実際の問題場合は,「ハズレを食べて終了」ということ...
よって確率&mimetex(p(k));は以下のように展開でき
#mimetex(p(k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{n-1}}{{}_{n+m}\ma...
期待値Eは以下のように展開できる.
#mimetex(E=\sum_{k=n}^{n+m}p\(k\)k\\=\sum_{k=n}^{n+m}\fra...
ここで,組み合わせ&mimetex({}_a \mathrm{C}_b = \frac{a!}{...
#mimetex(E=\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{n-1}...
展開して得られた項のうち,kを含まない形の項を&mimetex(\Si...
#mimetex(E=\frac{m!n!}{(n+m)!}\frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=n}^...
さて,ここで行き詰まった.&mimetex(\sum_{k=n}^{n+m}{}_k\m...
#mimetex(\sum_{k=1}^{a}{}_k \mathrm{P}_b=\frac{1}{(b+1)}\...
が成り立つっぽい.ここでは成り立つとして,式に当てはめる.
#mimetex(E=\frac{m!n!}{(n+m)!}\frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=n}^...
途中で&mimetex(\frac{1}{(n+1)}n(n-1)\cdots(n-n));の項を消...
よって,食べる食事の期待値は,当たりをn種類,ハズレをm種...
#mimetex(E=\frac{n}{n+1}m + n);
によって表される.
残るところは&mimetex(\sum_{k=1}^{a}{}_k \mathrm{P}_b=\fra...
案外キレイな形にまとまったものである.
帰れま10ではn=10なので,
#mimetex(E=\frac{10}{11}m + 10);
ちなみに,過去の放送回から計算される期待値と実際にロケで...
|放送回|品数|m|n|期待値|食事回数|
|22|100|90|10|91.82|22|
|34|92|82|10|84.55|31|
|36|133|123|10|121.82|30|
|47|116|106|10|106.36|31|
|49|106|96|10|97.27|30|
|53|84|74|10|77.27|35|
|68|102|92|10|93.64|29|
|76|75|65|10|69.09|33|
|81|97|87|10|89.09|42|
ランダムで選択してるといつまで経っても終わらない(ゆうに10...
こう見ると,悩んで選択してるのが如何に有用かが分かる.
*参考 [#t905ad9c]
-[[数学とクイズでくつろいで>http://kuturoide.starfree.jp/...
*パーフェクトを実際達成 [#o4765887]
-2013年1月21日放送分のチャレンジで本当にパーフェクトを達...
-「らあめん花月嵐」さんでの収録で、品数は全41品。
-結局10品連続で当ててパーフェクト達成した。
-この確率はどれぐらいだったのか?
-全品数の選び方は順序も含めると41!通り。うち、正解は10品...
-数字にして、だいたい &mimetex(\frac{10!}{41!}\approx1.08...
-10の43乗分の1って……
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