まどか☆マギカ第10話「もう誰にも頼らない」
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まどか☆マギカ第10話でホワイトボードに一瞬だけ表れる数学の...
*問題 [#iaaddd9e]
&mimetex(p);は素数,&mimetex(n);は任意の自然数とします.&...
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);が &mimetex(p);で割り切れること...
**証明 [#icfdf0d9]
まず展開する.
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);&mimetex(= ({}_pC_01^p + {}_pC_...
簡単に整理すると,
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);&mimetex(= (1 + {}_pC_1n + \ldo...
&mimetex(= {}_pC_1n + \ldots + {}_pC_{p-1}n^{p-1});
ここで,各項を総和を用いて表すと,
&mimetex({}_pC_1n + \ldots + {}_pC_{p-1}n^{p-1});
&mimetex(=\sum^{p-1}_{k=1}\left({}_pC_k1^{p-k}n^{k}\right...
&mimetex(=\sum^{p-1}_{k=1}\left({}_pC_kn^{k}\right));
となる.&mimetex({}_pC_kn^{k}=pm);(&mimetex(m);は任意の自...
今,&mimetex({}_pC_kn^{k});を展開すると,
&mimetex({}_pC_kn^{k});&mimetex(=\frac{p!}{(p-k)!}\frac{1...
となる.ここで&mimetex(k \ge 1);より,分母に&mimetex(p);...
&mimetex(p);は問題文より素数であるため,分子の&mimetex(p)...
&mimetex({}_pC_kn^{k});&mimetex(=pm);&br();(ただし&mimete...
これにより,命題が証明された.Q.E.D.
**解法2 [#b3384aa3]
こちらはあまり数式ばっかり使わない証明方法
試しに,&mimetex((1+n)^p -n^p -1);を少し手で展開してみる...
&mimetex(\begin{array}{crlllllll}p=1:&1&+n&&&&&-n&-1\\p=2...
&mimetex(p=4);は素数じゃないのだが,一応説明の為に今入れ...
これをよくみると,下記で色分けしたように必ず同じ値になる...
http://tessy.org/wiki/index.php?plugin=attach&pcmd=open&r...
さて,黄色と青い領域はキャンセルしあうので,問題はピンク...
実際見てみると,図中のピンクの領域の項で,&mimetex(p);で...
今度は,ピンクの領域の項が&mimetex(p);で割り切れるか検証...
&mimetex({}_pC_k);
&mimetex(=\frac{p!}{(p-k)!}\frac{1}{k!});
ただし&mimetex(k);はその数式中の何番目の項かを表し,&mime...
ここまで来たら証明1と同じ.分母に&mimetex(p);が現れず,分...
よって
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);&mimetex(=pm);
&br();(ただし&mimetex(p);は素数,&mimetex(m);は任意の自然...
が成り立つ.これにより,&mimetex((1+n)^p -n^p -1);が&mime...
*問題2 [#y0a7085d]
&mimetex(f(x)=\frac{4x+\sqrt{4x^2-1}}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2...
&mimetex(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(60));を求めよ
同じく一瞬だけホワイトボードに映る問題.
こっちは実は1話でほむらが解いており,そちらを参考に解い...
**解法 [#u911897f]
&mimetex(a_n=\sqrt{2n-1});と置く.この時,以下のようにな...
&mimetex(a_{n+1}\cdot a_n=\sqrt{2n+1}\sqrt{2n-1}=\sqrt{4n...
&mimetex(a_{n+1}^2+a_n^2=2n+1+2n-1=4n);
&mimetex(a_{n+1}^2-a_n^2=2n+1-2n-1=2);
上述の式を用いて問題文を変形する.
&mimetex(f(n)=\frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2...
分子分母それぞれに&mimetex((a_{n+1}-a_n));をかけて整理する
&mimetex(f(n)=\frac{(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}^2+a_n^2+a_{n+1}...
&mimetex(=\frac{a_{n+1}^3-a_n^3}{2}=-\frac{1}{2}a_n^3+\fr...
変形された&mimetex(f(n));を用いて問題文を計算する.
&mimetex(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(60));&mimetex(=\left(-\...
&mimetex(=-\frac{1}{2}a_1^3+\frac{1}{2}a_{61}^3=-\frac{1}...
答えは665.無限級数じゃなくて60で止まってるのはなんでなん...
*コメント [#z82aab24]
-背景の一瞬のホワイトボードの数学を読みとくと,結構難しか...
-二項定理は高校の範囲だったり,他にも[[東大入試問題>まど...
-[[j8takagi>https://twitter.com/j8takagi]]さんに[[指摘さ...
ジャンル[[:数学]]
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まどか☆マギカ第10話でホワイトボードに一瞬だけ表れる数学の...
*問題 [#iaaddd9e]
&mimetex(p);は素数,&mimetex(n);は任意の自然数とします.&...
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);が &mimetex(p);で割り切れること...
**証明 [#icfdf0d9]
まず展開する.
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);&mimetex(= ({}_pC_01^p + {}_pC_...
簡単に整理すると,
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);&mimetex(= (1 + {}_pC_1n + \ldo...
&mimetex(= {}_pC_1n + \ldots + {}_pC_{p-1}n^{p-1});
ここで,各項を総和を用いて表すと,
&mimetex({}_pC_1n + \ldots + {}_pC_{p-1}n^{p-1});
&mimetex(=\sum^{p-1}_{k=1}\left({}_pC_k1^{p-k}n^{k}\right...
&mimetex(=\sum^{p-1}_{k=1}\left({}_pC_kn^{k}\right));
となる.&mimetex({}_pC_kn^{k}=pm);(&mimetex(m);は任意の自...
今,&mimetex({}_pC_kn^{k});を展開すると,
&mimetex({}_pC_kn^{k});&mimetex(=\frac{p!}{(p-k)!}\frac{1...
となる.ここで&mimetex(k \ge 1);より,分母に&mimetex(p);...
&mimetex(p);は問題文より素数であるため,分子の&mimetex(p)...
&mimetex({}_pC_kn^{k});&mimetex(=pm);&br();(ただし&mimete...
これにより,命題が証明された.Q.E.D.
**解法2 [#b3384aa3]
こちらはあまり数式ばっかり使わない証明方法
試しに,&mimetex((1+n)^p -n^p -1);を少し手で展開してみる...
&mimetex(\begin{array}{crlllllll}p=1:&1&+n&&&&&-n&-1\\p=2...
&mimetex(p=4);は素数じゃないのだが,一応説明の為に今入れ...
これをよくみると,下記で色分けしたように必ず同じ値になる...
http://tessy.org/wiki/index.php?plugin=attach&pcmd=open&r...
さて,黄色と青い領域はキャンセルしあうので,問題はピンク...
実際見てみると,図中のピンクの領域の項で,&mimetex(p);で...
今度は,ピンクの領域の項が&mimetex(p);で割り切れるか検証...
&mimetex({}_pC_k);
&mimetex(=\frac{p!}{(p-k)!}\frac{1}{k!});
ただし&mimetex(k);はその数式中の何番目の項かを表し,&mime...
ここまで来たら証明1と同じ.分母に&mimetex(p);が現れず,分...
よって
&mimetex((1+n)^p -n^p -1);&mimetex(=pm);
&br();(ただし&mimetex(p);は素数,&mimetex(m);は任意の自然...
が成り立つ.これにより,&mimetex((1+n)^p -n^p -1);が&mime...
*問題2 [#y0a7085d]
&mimetex(f(x)=\frac{4x+\sqrt{4x^2-1}}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2...
&mimetex(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(60));を求めよ
同じく一瞬だけホワイトボードに映る問題.
こっちは実は1話でほむらが解いており,そちらを参考に解い...
**解法 [#u911897f]
&mimetex(a_n=\sqrt{2n-1});と置く.この時,以下のようにな...
&mimetex(a_{n+1}\cdot a_n=\sqrt{2n+1}\sqrt{2n-1}=\sqrt{4n...
&mimetex(a_{n+1}^2+a_n^2=2n+1+2n-1=4n);
&mimetex(a_{n+1}^2-a_n^2=2n+1-2n-1=2);
上述の式を用いて問題文を変形する.
&mimetex(f(n)=\frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2...
分子分母それぞれに&mimetex((a_{n+1}-a_n));をかけて整理する
&mimetex(f(n)=\frac{(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}^2+a_n^2+a_{n+1}...
&mimetex(=\frac{a_{n+1}^3-a_n^3}{2}=-\frac{1}{2}a_n^3+\fr...
変形された&mimetex(f(n));を用いて問題文を計算する.
&mimetex(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(60));&mimetex(=\left(-\...
&mimetex(=-\frac{1}{2}a_1^3+\frac{1}{2}a_{61}^3=-\frac{1}...
答えは665.無限級数じゃなくて60で止まってるのはなんでなん...
*コメント [#z82aab24]
-背景の一瞬のホワイトボードの数学を読みとくと,結構難しか...
-二項定理は高校の範囲だったり,他にも[[東大入試問題>まど...
-[[j8takagi>https://twitter.com/j8takagi]]さんに[[指摘さ...
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