行列のべき乗とフィボナッチ数列
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数学ガール第4巻『数学ガール/乱択アルゴリズム』と数学ガ...
*前提 [#m0afbae7]
-フィボナッチ数&mimetex(p_n);の定義
--&mimetex(p_0=0);
--&mimetex(p_1=1);
--&mimetex(p_{n+2}=p_n+p_{n+1}(n\ge0));
*行列 [#fde0c827]
-行列&mimetex(\rm{A});&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}1&...
-この行列のべき乗&mimetex(\rm{A}^n);&mimetex(=\left(\begi...
-&mimetex(\rm{A});&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1...
, &mimetex(\rm{A}^2);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}2&...
, &mimetex(\rm{A}^3);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}3&...
, &mimetex(\rm{A}^4);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}5&...
, &mimetex(\rm{A}^5);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}8&...
-という具合に,各行列のべき乗の左下と右上の要素がフィボナ...
*問題 [#z78ab3a3]
-行列&mimetex(\rm{A});のべき乗&mimetex(\rm{A}^n);からフィ...
**対角化 [#u3d5b8fc]
-&mimetex(\rm{A}=\rm{P}\rm{D}\rm{P}^{-1});と分解する((対...
-ケーリー・ハミルトンの定理より,&mimetex(|\rm{A}-\lambda...
-&mimetex(|\rm{A}-\lambda \rm{E}|=|\left(\begin{array}{cc...
-&mimetex(\lambda=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-1)}}{2}=\frac{1+ ...
-ここで&mimetex(\alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2},\beta =\fr...
-&mimetex(\left(\rm{A}-\lambda \rm{E}\right)\left(\begin{...
-&mimetex(\lambda=\alpha);のとき
--&mimetex(\left(\rm{A}-\alpha \rm{E}\right)\left(\begin{...
-&mimetex(\lambda=\beta);のとき
--&mimetex(\left(\rm{A}-\beta \rm{E}\right)\left(\begin{a...
-これで行列&mimetex(\rm{A});の固有値&mimetex(\alpha, \bet...
--&mimetex(\rm{P}=\left(\begin{array}{cc}\alpha&\beta\\1&...
--&mimetex(\rm{D}=\left(\begin{array}{cc}\alpha&0\\0&\bet...
-として,以下のように表せる
-&mimetex(\rm{A}=\rm{P}\rm{D}\rm{P}^{-1}=\left(\begin{arr...
-真ん中の&mimetex(D);が対角化(=斜めの成分以外が全部0に)で...
**べき乗 [#t8ea03c7]
-&mimetex(\rm{A}^n);を考える
-&mimetex(\rm{A}^n=\left(\rm{P}\rm{D}\rm{P}^{-1}\right)^n...
-&mimetex(\rm{P});と&mimetex(\rm{P}^{-1});が打ち消しあっ...
-展開する
--&mimetex(\rm{A}^n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
-2列目(右側)がごちゃごちゃしてるので,もう少し整理する
--&mimetex(\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alph...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
**恒等式 [#zc284121]
-最初,行列&mimetex(\rm{A});のべき乗&mimetex(\rm{A}^n);&m...
-&mimetex(\rm{A}^n);&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\be...
-両方を比較すると,
--&mimetex(\left(\begin{array}{cc}p_{n+1}&p_n\\p_n&p_{n-1...
-次式が導かれる
-&mimetex(p_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^n-\beta^n \r...
-今,&mimetex(\alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2},\beta =\frac...
-&mimetex(p_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqr...
*感想 [#z4d53148]
-4巻面白かった
--きっかけは4巻と間違えた1巻を手にとってしまったこと
--1巻ではフィボナッチ数列の一般項の話が出てくる
--4巻でフィボナッチ数列を表す行列が出てきたとき,「あれ?...
-テトラちゃんじゃないけれど,「例示は理解の試金石」で試し...
-行列の対角化は高校で習ったので,この行列を見たら,高校生...
--数学って奥が深い・・・
-やっぱり,数学ガールは読んで面白いけれど,自分で手を動か...
-特に,4巻はオーダ記法とかクーポン収集問題(([[連チャン回...
-ちゃんと導出できてよかった
[[:数学]]
終了行:
数学ガール第4巻『数学ガール/乱択アルゴリズム』と数学ガ...
*前提 [#m0afbae7]
-フィボナッチ数&mimetex(p_n);の定義
--&mimetex(p_0=0);
--&mimetex(p_1=1);
--&mimetex(p_{n+2}=p_n+p_{n+1}(n\ge0));
*行列 [#fde0c827]
-行列&mimetex(\rm{A});&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}1&...
-この行列のべき乗&mimetex(\rm{A}^n);&mimetex(=\left(\begi...
-&mimetex(\rm{A});&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1...
, &mimetex(\rm{A}^2);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}2&...
, &mimetex(\rm{A}^3);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}3&...
, &mimetex(\rm{A}^4);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}5&...
, &mimetex(\rm{A}^5);&mimetex(=\left(\begin{array}{cc}8&...
-という具合に,各行列のべき乗の左下と右上の要素がフィボナ...
*問題 [#z78ab3a3]
-行列&mimetex(\rm{A});のべき乗&mimetex(\rm{A}^n);からフィ...
**対角化 [#u3d5b8fc]
-&mimetex(\rm{A}=\rm{P}\rm{D}\rm{P}^{-1});と分解する((対...
-ケーリー・ハミルトンの定理より,&mimetex(|\rm{A}-\lambda...
-&mimetex(|\rm{A}-\lambda \rm{E}|=|\left(\begin{array}{cc...
-&mimetex(\lambda=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-1)}}{2}=\frac{1+ ...
-ここで&mimetex(\alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2},\beta =\fr...
-&mimetex(\left(\rm{A}-\lambda \rm{E}\right)\left(\begin{...
-&mimetex(\lambda=\alpha);のとき
--&mimetex(\left(\rm{A}-\alpha \rm{E}\right)\left(\begin{...
-&mimetex(\lambda=\beta);のとき
--&mimetex(\left(\rm{A}-\beta \rm{E}\right)\left(\begin{a...
-これで行列&mimetex(\rm{A});の固有値&mimetex(\alpha, \bet...
--&mimetex(\rm{P}=\left(\begin{array}{cc}\alpha&\beta\\1&...
--&mimetex(\rm{D}=\left(\begin{array}{cc}\alpha&0\\0&\bet...
-として,以下のように表せる
-&mimetex(\rm{A}=\rm{P}\rm{D}\rm{P}^{-1}=\left(\begin{arr...
-真ん中の&mimetex(D);が対角化(=斜めの成分以外が全部0に)で...
**べき乗 [#t8ea03c7]
-&mimetex(\rm{A}^n);を考える
-&mimetex(\rm{A}^n=\left(\rm{P}\rm{D}\rm{P}^{-1}\right)^n...
-&mimetex(\rm{P});と&mimetex(\rm{P}^{-1});が打ち消しあっ...
-展開する
--&mimetex(\rm{A}^n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
-2列目(右側)がごちゃごちゃしてるので,もう少し整理する
--&mimetex(\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alph...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
--&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}\alp...
**恒等式 [#zc284121]
-最初,行列&mimetex(\rm{A});のべき乗&mimetex(\rm{A}^n);&m...
-&mimetex(\rm{A}^n);&mimetex(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\be...
-両方を比較すると,
--&mimetex(\left(\begin{array}{cc}p_{n+1}&p_n\\p_n&p_{n-1...
-次式が導かれる
-&mimetex(p_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^n-\beta^n \r...
-今,&mimetex(\alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2},\beta =\frac...
-&mimetex(p_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqr...
*感想 [#z4d53148]
-4巻面白かった
--きっかけは4巻と間違えた1巻を手にとってしまったこと
--1巻ではフィボナッチ数列の一般項の話が出てくる
--4巻でフィボナッチ数列を表す行列が出てきたとき,「あれ?...
-テトラちゃんじゃないけれど,「例示は理解の試金石」で試し...
-行列の対角化は高校で習ったので,この行列を見たら,高校生...
--数学って奥が深い・・・
-やっぱり,数学ガールは読んで面白いけれど,自分で手を動か...
-特に,4巻はオーダ記法とかクーポン収集問題(([[連チャン回...
-ちゃんと導出できてよかった
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