二次方程式の曲線は3点以下で求まらないのか?
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二次方程式の曲線は3点指定すれば一意に決まる,というのは中...
ただ,本当に3点決まれば,一意に決まるのか?イマイチ納得行...
#contents
*二次方程式 [#t51de35e]
-これ↓が二次方程式の形です.
--&mimetex(\Large ax^2+bx+c=y);
--もちろん
---yが左辺だったり,
---&mimetex((x-p)^2=y-q); だったり
---&mimetex(y=x^2+ax+b); だったり
---と色々形はありますが,
--今回は説明のためにこの形で統一します.
-さて,二次方程式の曲線は,定数 &mimetex(a, b, c); の3...
-では,定数 &mimetex(a, b, c); を一意に決めるためにはど...
*行列演算と二次方程式 [#sc9fbb71]
-この基本形↓
--&mimetex(ax^2+bx+c=y);
-をベクトルの乗算で書き表すと,次式になります.
--&mimetex(\Large\left(\begin{array}{ccc}x^2&x&1\end{arra...
-この行列演算が''二次方程式と等価''だというのは理解して頂...
--&mimetex(\Large\left(\begin{array}{ccc}x^2&x&1\end{arra...
-これだけだと,ただの内積と同じです.
-今,点が1つ与えられるということは, &mimetex((x, y)); ...
-行列の中では &mimetex(x^2); も利用してますから, &mime...
--&mimetex(\Large\left(\begin{array}{ccc}x^2_1&x_1&1\end{...
*点の数と行列演算 [#e62343e4]
-さて,中学で習う数学では,方程式のグラフを一意に決定する...
-さっきの行列演算で行くと,こんな感じです,
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}x^2_1&x_1&1\\x^...
-さて,ここから,行列を要素単位でなく行列ごとに書くと,こ...
--&mimetex(\Large \text{A}\text{X} = \text{Y});
-ここで, &mimetex(\text{A}, \text{X}, \text{Y}); はそ...
--&mimetex(\Large \text{A} = \left(\begin{array}{ccc}x^2_...
--&mimetex(\Large \text{X} = \left(\begin{array}{c}a\\b\\...
--&mimetex(\Large \text{Y} = \left(\begin{array}{c}y_1\\\...
-通常ベクトル &mimetex(\text{X}); には変数 &mimetex(x);...
-ここで,ベクトル &mimetex(\text{X}); を求めたい訳であ...
--&mimetex(\qquad\qquad\qquad \text{A}\text{X} = \text{Y});
--&mimetex(\text{A}^{-1}\text{A}\text{X} = \text{A}^{-1}\...
--&mimetex(\qquad\qquad\qquad\quad\qquad \text{X} =\text...
-今行列 &mimetex(\text{A}); は正方行列であり,各行は独...
-よって &mimetex(\text{A}); は正則行列であり,逆行列 &...
-よって独立な((つまり,別々の))3点を指定した場合, &mime...
*最低何点必要なの? [#ref65b6b]
-さて,ポイントとなる「''最低何点あれば点数が求められるの...
-行列 &mimetex(\text{A}^{-1}); が存在しなければ ベクト...
-前述した通り,''独立した3点を与えた場合'',行列Aは正則行...
-4点以上与えられた場合は行列Aは,正方行列にならないが,擬...
''問題は2点以下しか与えられなかった場合''です.
-2点しか与えられなかった場合は,行列 &mimetex(\text{A});...
--&mimetex(\huge \text{A} = \left(\begin{array}{ccc}x^2_1...
-これだと,行列 &mimetex(\text{A}); が正方行列ではない...
*もうちょっと厳密に詰める [#rfa62fec]
正方行列でない場合,同じ行列の転置行列をかけることで正方...
-転置行列を左からかけて擬似逆行列を求めます.
--&mimetex(\huge \text{A}^{\top}\text{A} = \left(\begin{a...
-この擬似逆行列 &mimetex(\left(\text{A}^{\top}\text{A}\r...
さぁ,''いきなり階数なんて言葉が出てきても慌てない''.
-元々行列 &mimetex(\text{A}); は2行の要素を持っており,...
-その行列 &mimetex(\text{A}); をこねくりまわして出てき...
-実際に適当な値を入れてみるとわかります. &mimetex(\Larg...
--&mimetex(\Large\text{A}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\...
-さて,転置行列をかけるとどうなるか,
--&mimetex(\Large\text{A}^{\top}\text{A}=\left(\begin{arr...
--こんな行列になります.
-1行目と3行目が等しくなってるのが分かりますよね?
つまり,この行列が持ってる情報は2行分の情報しかなく,3行...
-ちなみに無理やりこの逆行列を求めようとすると,行列式が0...
--&mimetex(\Large \det \left(\text{A}^\top\text{A}\right)...
-逆行列が求められない,つまり &mimetex(\text{X}); が求...
*試しにもう1点 [#j95212c9]
-先ほどの例よりもう少し複雑な例を紹介.&mimetex(\Large\le...
--&mimetex(\Large\text{A}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\...
--こんな感じの行列ができる
-転置行列を左からかけてみる
--&mimetex(\Large\text{A}^{\top}\text{A}=\left(\begin{arr...
--こんな行列になります.
-一目見ただけでは階数が3あるように見えますが,この行列も...
-例えば1行目から2行目と3行目を引くと以下のような行列にな...
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}17&9&5\\9&5&3\\...
-続いて,3倍にした3行目を2倍にした2行目から引くと,以下の...
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\9&5&3\\5...
-今度は1行目と2行目が等しくなりました.
-この様に,3行3列の行列に見えて,実際は独立な元は2本しか...
-実際に行列式も0です.
--&mimetex(\Large \det \left(\text{A}^\top\text{A}\right)...
*実際に点から方程式の曲線を一意に決定する方法 [#ka8ff8a4]
-試しに, &mimetex(\Large x^2-7x+6=y); の方程式に則って...
-この場合 &mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}a&b&c\...
-ちなみにこれがグラフ
#ref(second-order-graph.png,left,,2次関数のグラフ)
-適当に点を打ってみる
--(0, 6) と (2, -4) と (6, 0)
-これが通過する点もプロットした図
#ref(second-order-and-points.png,left,,2次関数のグラフと点)
+まずは行列を構築する.
--&mimetex(\Large \text{A}=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\...
--&mimetex(\Large \text{Y}=\left(\begin{array}{c}6\\-4\\0...
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\4&2&1\\3...
+逆行列を計算する
--逆行列の演算はExcelのminverse関数でもScilabでもMATLABで...
--これぐらいなら掃き出し法で自分でも計算できるはず
--&mimetex(\Large \text{A}^{-1}=\huge\frac{1}{48}\Large\l...
+行列演算
--&mimetex(\Large \text{X} = \text{A}^{-1}\text{Y} =\huge...
--&mimetex(\Large \text{X} = \left(\begin{array}{c}1\\-7\...
-この通り a=1, b=-7, c=6 が求まった.
*もっと厳密な話 [#o79676cc]
-今回のこの逆行列が求まらない状況は本当は方程式の解不定に...
-4点以上利用する場合は,解不能な状況に陥る可能性もあるの...
[[:数学]]
終了行:
二次方程式の曲線は3点指定すれば一意に決まる,というのは中...
ただ,本当に3点決まれば,一意に決まるのか?イマイチ納得行...
#contents
*二次方程式 [#t51de35e]
-これ↓が二次方程式の形です.
--&mimetex(\Large ax^2+bx+c=y);
--もちろん
---yが左辺だったり,
---&mimetex((x-p)^2=y-q); だったり
---&mimetex(y=x^2+ax+b); だったり
---と色々形はありますが,
--今回は説明のためにこの形で統一します.
-さて,二次方程式の曲線は,定数 &mimetex(a, b, c); の3...
-では,定数 &mimetex(a, b, c); を一意に決めるためにはど...
*行列演算と二次方程式 [#sc9fbb71]
-この基本形↓
--&mimetex(ax^2+bx+c=y);
-をベクトルの乗算で書き表すと,次式になります.
--&mimetex(\Large\left(\begin{array}{ccc}x^2&x&1\end{arra...
-この行列演算が''二次方程式と等価''だというのは理解して頂...
--&mimetex(\Large\left(\begin{array}{ccc}x^2&x&1\end{arra...
-これだけだと,ただの内積と同じです.
-今,点が1つ与えられるということは, &mimetex((x, y)); ...
-行列の中では &mimetex(x^2); も利用してますから, &mime...
--&mimetex(\Large\left(\begin{array}{ccc}x^2_1&x_1&1\end{...
*点の数と行列演算 [#e62343e4]
-さて,中学で習う数学では,方程式のグラフを一意に決定する...
-さっきの行列演算で行くと,こんな感じです,
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}x^2_1&x_1&1\\x^...
-さて,ここから,行列を要素単位でなく行列ごとに書くと,こ...
--&mimetex(\Large \text{A}\text{X} = \text{Y});
-ここで, &mimetex(\text{A}, \text{X}, \text{Y}); はそ...
--&mimetex(\Large \text{A} = \left(\begin{array}{ccc}x^2_...
--&mimetex(\Large \text{X} = \left(\begin{array}{c}a\\b\\...
--&mimetex(\Large \text{Y} = \left(\begin{array}{c}y_1\\\...
-通常ベクトル &mimetex(\text{X}); には変数 &mimetex(x);...
-ここで,ベクトル &mimetex(\text{X}); を求めたい訳であ...
--&mimetex(\qquad\qquad\qquad \text{A}\text{X} = \text{Y});
--&mimetex(\text{A}^{-1}\text{A}\text{X} = \text{A}^{-1}\...
--&mimetex(\qquad\qquad\qquad\quad\qquad \text{X} =\text...
-今行列 &mimetex(\text{A}); は正方行列であり,各行は独...
-よって &mimetex(\text{A}); は正則行列であり,逆行列 &...
-よって独立な((つまり,別々の))3点を指定した場合, &mime...
*最低何点必要なの? [#ref65b6b]
-さて,ポイントとなる「''最低何点あれば点数が求められるの...
-行列 &mimetex(\text{A}^{-1}); が存在しなければ ベクト...
-前述した通り,''独立した3点を与えた場合'',行列Aは正則行...
-4点以上与えられた場合は行列Aは,正方行列にならないが,擬...
''問題は2点以下しか与えられなかった場合''です.
-2点しか与えられなかった場合は,行列 &mimetex(\text{A});...
--&mimetex(\huge \text{A} = \left(\begin{array}{ccc}x^2_1...
-これだと,行列 &mimetex(\text{A}); が正方行列ではない...
*もうちょっと厳密に詰める [#rfa62fec]
正方行列でない場合,同じ行列の転置行列をかけることで正方...
-転置行列を左からかけて擬似逆行列を求めます.
--&mimetex(\huge \text{A}^{\top}\text{A} = \left(\begin{a...
-この擬似逆行列 &mimetex(\left(\text{A}^{\top}\text{A}\r...
さぁ,''いきなり階数なんて言葉が出てきても慌てない''.
-元々行列 &mimetex(\text{A}); は2行の要素を持っており,...
-その行列 &mimetex(\text{A}); をこねくりまわして出てき...
-実際に適当な値を入れてみるとわかります. &mimetex(\Larg...
--&mimetex(\Large\text{A}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\...
-さて,転置行列をかけるとどうなるか,
--&mimetex(\Large\text{A}^{\top}\text{A}=\left(\begin{arr...
--こんな行列になります.
-1行目と3行目が等しくなってるのが分かりますよね?
つまり,この行列が持ってる情報は2行分の情報しかなく,3行...
-ちなみに無理やりこの逆行列を求めようとすると,行列式が0...
--&mimetex(\Large \det \left(\text{A}^\top\text{A}\right)...
-逆行列が求められない,つまり &mimetex(\text{X}); が求...
*試しにもう1点 [#j95212c9]
-先ほどの例よりもう少し複雑な例を紹介.&mimetex(\Large\le...
--&mimetex(\Large\text{A}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\...
--こんな感じの行列ができる
-転置行列を左からかけてみる
--&mimetex(\Large\text{A}^{\top}\text{A}=\left(\begin{arr...
--こんな行列になります.
-一目見ただけでは階数が3あるように見えますが,この行列も...
-例えば1行目から2行目と3行目を引くと以下のような行列にな...
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}17&9&5\\9&5&3\\...
-続いて,3倍にした3行目を2倍にした2行目から引くと,以下の...
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\9&5&3\\5...
-今度は1行目と2行目が等しくなりました.
-この様に,3行3列の行列に見えて,実際は独立な元は2本しか...
-実際に行列式も0です.
--&mimetex(\Large \det \left(\text{A}^\top\text{A}\right)...
*実際に点から方程式の曲線を一意に決定する方法 [#ka8ff8a4]
-試しに, &mimetex(\Large x^2-7x+6=y); の方程式に則って...
-この場合 &mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}a&b&c\...
-ちなみにこれがグラフ
#ref(second-order-graph.png,left,,2次関数のグラフ)
-適当に点を打ってみる
--(0, 6) と (2, -4) と (6, 0)
-これが通過する点もプロットした図
#ref(second-order-and-points.png,left,,2次関数のグラフと点)
+まずは行列を構築する.
--&mimetex(\Large \text{A}=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\...
--&mimetex(\Large \text{Y}=\left(\begin{array}{c}6\\-4\\0...
--&mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\4&2&1\\3...
+逆行列を計算する
--逆行列の演算はExcelのminverse関数でもScilabでもMATLABで...
--これぐらいなら掃き出し法で自分でも計算できるはず
--&mimetex(\Large \text{A}^{-1}=\huge\frac{1}{48}\Large\l...
+行列演算
--&mimetex(\Large \text{X} = \text{A}^{-1}\text{Y} =\huge...
--&mimetex(\Large \text{X} = \left(\begin{array}{c}1\\-7\...
-この通り a=1, b=-7, c=6 が求まった.
*もっと厳密な話 [#o79676cc]
-今回のこの逆行列が求まらない状況は本当は方程式の解不定に...
-4点以上利用する場合は,解不能な状況に陥る可能性もあるの...
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