連チャン回数の期待値
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#contents
*問題 [#i3ca81be]
//-フィーバーがある確率で始まり,その後一定確率で連チャン...
-フィーバーが始まった状態で,一定確率で連チャンする.
-連チャンする確率は回数に依存せず,常に一定の確率で連チャ...
-そのとき,''連チャン回数の期待値''を求めよ.
*解法1 [#u0b6781c]
-連チャン確率を&mimetex(r);とし,&mimetex(r<1);とする.
//フィーバーが始まる確率を&mimetex(p);とする.
-&mimetex(n);回連チャンする確率を&mimetex(a_n);で表す
//-&mimetex(a_{0}=(1-p));フィーバーが始まらない確率は&mim...
-&mimetex(a_{1}=(1-r)); 連チャンに失敗する確率は&mime...
-&mimetex(a_{2}=r(1-r)); 2連チャンは2連チャンした後に3...
-&mimetex(a_{3}=r^2(1-r)); 3連チャンは3連チャンした後に4...
-&mimetex(\vdots); 以下同
-&mimetex(a_{n}=r^{n-1}(1-r)); 連チャンの回数の一般項
-期待値を計算するためには回数と確率を掛け算し,足し合わせる
-和の一般項を求める
-&mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=0}ka_k);
&mimetex(=\sum^n_{k=0}kr^{k-1}(1-r));
&mimetex(=(1-r)\sum^n_{k=0}kr^{k-1});
&mimetex(=(1-r)\(1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\));
-ここで,&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));を考える
-&mimetex(S\(n\)=(1-r)(nr^{n-1}+\cdots+3r^2+2r+1));
-&mimetex(rS\(n\)=(1-r)(nr^n+\cdots+2r^2+r));
-&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));
&mimetex(=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n));
-ここで,&mimetex((1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}));は初項が1,公...
-&mimetex(\sum^n_{k=1}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1});で表せる
-&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));
&mimetex(=(1-r)S\(n\));
&mimetex(=(1-r)(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n));
-ここで両辺を&mimetex(\(1-r\));で割る
-&mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\));
-この和の一般項の極限を取る
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n-1}{r-1}-\lim_{n\to\i...
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{r-1}-\lim_{n\to\inf...
&mimetex(=0-\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
-整理すると
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\frac{1}{1-r}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
-ここで&mimetex(O\(n\)<O\(r^n\));なので&mimetex(\lim_{n\t...
-よって整理すると
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\frac{1}{1-r});
-言葉で説明すると,平均連チャン回数は
-1÷''連チャンしない確率''なのである.
//-&mimetex(p=r);,つまりフィーバースタートする確率=連チ...
//-''連チャンする確率''÷''連チャンしない確率''
*解法2 [#c0e9f053]
-連チャン確率を&mimetex(r);とし,&mimetex(r<1);とする.
-&mimetex(n);回勝つ確率を&mimetex(a_n);で表す
-&mimetex(a_{1}=1); 1勝したところから話は始まる
-&mimetex(a_{2}=r); 2勝は1勝した人の内&mimetex(r);だけ
-&mimetex(a_{3}=r^2); 3勝は2勝した人の内&mimetex(r);だけ
-&mimetex(\vdots); 以下同
-&mimetex(a_{n}=r^{n-1}); n回勝つ確率の一般項
-期待値を計算するためには各確率の和をとればよい.
-和の一般項を求める
-&mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=1}a_{n});
&mimetex(=\sum^n_{k=1}r^{n-1});
-ここで,&mimetex(r^{n-1});は初項が1,公比が&mimetex(r);...
-&mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}\));
-この和の一般項の極限を取る
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}\));
&mimetex(=-\frac{1}{r-1});
&mimetex(=\frac{1}{1-r});
-言葉で説明すると,平均連チャン回数は
-1÷''連チャンしない確率''なのである.
//-&mimetex(p=r);,つまりフィーバースタートする確率=連チ...
//-''連チャンする確率''÷''連チャンしない確率''
*参考 [#l42eabf1]
-下記添付ファイルにイメージ図をPOV-Rayで描いてみた
-やりたいことは,このできたオブジェクトの形をならしたとき...
-[[勝率80%で50勝した時のイメージ>http://tessy.org/wiki/in...
-ちなみに,なんとなく勝率80%,95%,98%を比較してみた.
-[[勝率80%と95%の比較>http://tessy.org/wiki/index.php?plu...
左から順に95%,80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた.
-[[勝率80%と95%と98%の比較>http://tessy.org/wiki/index.ph...
左から順に98%,95%,80%の勝率で100勝までの確率を描いてみ...
-意外に98%と95%の差が大きくてびっくりした.
-かっとなってやった.今は反省している.
ジャンル[[:数学]]
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*問題 [#i3ca81be]
//-フィーバーがある確率で始まり,その後一定確率で連チャン...
-フィーバーが始まった状態で,一定確率で連チャンする.
-連チャンする確率は回数に依存せず,常に一定の確率で連チャ...
-そのとき,''連チャン回数の期待値''を求めよ.
*解法1 [#u0b6781c]
-連チャン確率を&mimetex(r);とし,&mimetex(r<1);とする.
//フィーバーが始まる確率を&mimetex(p);とする.
-&mimetex(n);回連チャンする確率を&mimetex(a_n);で表す
//-&mimetex(a_{0}=(1-p));フィーバーが始まらない確率は&mim...
-&mimetex(a_{1}=(1-r)); 連チャンに失敗する確率は&mime...
-&mimetex(a_{2}=r(1-r)); 2連チャンは2連チャンした後に3...
-&mimetex(a_{3}=r^2(1-r)); 3連チャンは3連チャンした後に4...
-&mimetex(\vdots); 以下同
-&mimetex(a_{n}=r^{n-1}(1-r)); 連チャンの回数の一般項
-期待値を計算するためには回数と確率を掛け算し,足し合わせる
-和の一般項を求める
-&mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=0}ka_k);
&mimetex(=\sum^n_{k=0}kr^{k-1}(1-r));
&mimetex(=(1-r)\sum^n_{k=0}kr^{k-1});
&mimetex(=(1-r)\(1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\));
-ここで,&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));を考える
-&mimetex(S\(n\)=(1-r)(nr^{n-1}+\cdots+3r^2+2r+1));
-&mimetex(rS\(n\)=(1-r)(nr^n+\cdots+2r^2+r));
-&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));
&mimetex(=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n));
-ここで,&mimetex((1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}));は初項が1,公...
-&mimetex(\sum^n_{k=1}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1});で表せる
-&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));
&mimetex(=(1-r)S\(n\));
&mimetex(=(1-r)(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n));
-ここで両辺を&mimetex(\(1-r\));で割る
-&mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\));
-この和の一般項の極限を取る
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n-1}{r-1}-\lim_{n\to\i...
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{r-1}-\lim_{n\to\inf...
&mimetex(=0-\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
-整理すると
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\frac{1}{1-r}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
-ここで&mimetex(O\(n\)<O\(r^n\));なので&mimetex(\lim_{n\t...
-よって整理すると
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\frac{1}{1-r});
-言葉で説明すると,平均連チャン回数は
-1÷''連チャンしない確率''なのである.
//-&mimetex(p=r);,つまりフィーバースタートする確率=連チ...
//-''連チャンする確率''÷''連チャンしない確率''
*解法2 [#c0e9f053]
-連チャン確率を&mimetex(r);とし,&mimetex(r<1);とする.
-&mimetex(n);回勝つ確率を&mimetex(a_n);で表す
-&mimetex(a_{1}=1); 1勝したところから話は始まる
-&mimetex(a_{2}=r); 2勝は1勝した人の内&mimetex(r);だけ
-&mimetex(a_{3}=r^2); 3勝は2勝した人の内&mimetex(r);だけ
-&mimetex(\vdots); 以下同
-&mimetex(a_{n}=r^{n-1}); n回勝つ確率の一般項
-期待値を計算するためには各確率の和をとればよい.
-和の一般項を求める
-&mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=1}a_{n});
&mimetex(=\sum^n_{k=1}r^{n-1});
-ここで,&mimetex(r^{n-1});は初項が1,公比が&mimetex(r);...
-&mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}\));
-この和の一般項の極限を取る
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}\));
&mimetex(=-\frac{1}{r-1});
&mimetex(=\frac{1}{1-r});
-言葉で説明すると,平均連チャン回数は
-1÷''連チャンしない確率''なのである.
//-&mimetex(p=r);,つまりフィーバースタートする確率=連チ...
//-''連チャンする確率''÷''連チャンしない確率''
*参考 [#l42eabf1]
-下記添付ファイルにイメージ図をPOV-Rayで描いてみた
-やりたいことは,このできたオブジェクトの形をならしたとき...
-[[勝率80%で50勝した時のイメージ>http://tessy.org/wiki/in...
-ちなみに,なんとなく勝率80%,95%,98%を比較してみた.
-[[勝率80%と95%の比較>http://tessy.org/wiki/index.php?plu...
左から順に95%,80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた.
-[[勝率80%と95%と98%の比較>http://tessy.org/wiki/index.ph...
左から順に98%,95%,80%の勝率で100勝までの確率を描いてみ...
-意外に98%と95%の差が大きくてびっくりした.
-かっとなってやった.今は反省している.
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