[[ツイッターで発言>https://twitter.com/tomoaki_teshima/status/391944834765692929]]したので、自分でちゃんと数式を書いておく¬e{tiwtter-tomoaki-madomagi-coupon:[[Twitter / tomoaki_teshima: まどか☆マギカの第１週来場者特典は５種類の色紙（ランダム配布 ...>https://twitter.com/tomoaki_teshima/status/391944834765692929]], 2013-10-21ツイート};
#contents
*問題 [#z8f6a1b8]
-「まどか☆マギカ[新編]叛逆の物語」が2013年10月28日から公開され、公開第1週は色紙のプレゼントがありました¬e{prize-madoka-magica:[[THEATER | 劇場版 魔法少女まどか☆マギカ[新編]叛逆の物語(来場者特典)>http://www.madoka-magica.com/theater/prize.html]], 2013-11-06閲覧};
-この色紙をあなたは全種類集めようと思い立ちました。
-下記の条件の時、会場に足を運ぶ回数の期待値は何回でしょうか？
--1回の上映に足を運ぶと、1枚色紙がもらえる
--色紙は全部で5種類ある
--絵柄はランダムで、選べない
--色紙は十分枚数あり、絵柄の確率は常にそれぞれ1/5である
*解説 [#o1277587]
-どんどん確率が減りつつも、コンプリートするために通っちゃうこと、ありますよね。
-こういうタイプの問題は「クーポン収集問題」と呼ばれます
--詳しくは数学ガール4巻で解説されています
--本サイトの[[お試しかっ！帰れま10で食べる皿の期待値]]や[[連チャン回数の期待値]]なんかもクーポン収集問題の部類に入ります
-この解き方としてはそれぞれの遷移状態に分けます~
a)0種類得ていて、1種類目を得る~
b)1種類得ていて、2種類目を得る~
c)2種類得ていて、3種類目を得る~
d)3種類得ていて、4種類目を得る~
e)4種類得ていて、5種類目を得る~
-a)の確率は100%です。なので、通う必要がある回数は1回だけです
-b)の確率はどれぐらいでしょうか。
--1種類(どの絵柄でも構わない)得ているので、残りの絵柄は4種類です
--ダブらずに2種類目を得るためには4/5の確率になります
--なので、ダブらずに2枚目を得るための期待値は5/4枚になります。(ここがクーポン収集問題のミソ）
-c)の確率は同様に3/5なので、期待値5/3枚
-d)の確率は同様に2/5なので、期待値5/2枚
-e)の確率は同様に1/5なので、期待値5枚
-これらの総和なので
#mimetex(\frac{5}{5}+\frac{5}{4}+\frac{5}{3}+\frac{5}{2}+\frac{5}{1}=5\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1}\right)=5\left(\frac{24}{120}+\frac{30}{120}+\frac{40}{120}+\frac{60}{120}+\frac{120}{120}\right)=\frac{5}{120}\left(24+30+40+60+120\right)=\frac{5}{120}\left(24+30+40+60+120\right)=\frac{5}{120}\cdot274\approx11.41667)
-となる
*答え [#y173cd4d]
-約11.41667回。&mimetex(\frac{1370}{120});回
ジャンル[[:数学]]
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