ツイッターで発言したので、自分でちゃんと数式を書いておく*1

問題

  • 「まどか☆マギカ[新編]叛逆の物語」が2013年10月28日から公開され、公開第1週は色紙のプレゼントがありました*2
  • この色紙をあなたは全種類集めようと思い立ちました。
  • 下記の条件の時、会場に足を運ぶ回数の期待値は何回でしょうか?
    • 1回の上映に足を運ぶと、1枚色紙がもらえる
    • 色紙は全部で5種類ある
    • 絵柄はランダムで、選べない
    • 色紙は十分枚数あり、絵柄の確率は常にそれぞれ1/5である

解説

  • どんどん確率が減りつつも、コンプリートするために通っちゃうこと、ありますよね。
  • こういうタイプの問題は「クーポン収集問題」と呼ばれます
  • この解き方としてはそれぞれの遷移状態に分けます
    a)0種類得ていて、1種類目を得る
    b)1種類得ていて、2種類目を得る
    c)2種類得ていて、3種類目を得る
    d)3種類得ていて、4種類目を得る
    e)4種類得ていて、5種類目を得る
  • a)の確率は100%です。なので、通う必要がある回数は1回だけです
  • b)の確率はどれぐらいでしょうか。
    • 1種類(どの絵柄でも構わない)得ているので、残りの絵柄は4種類です
    • ダブらずに2種類目を得るためには4/5の確率になります
    • なので、ダブらずに2枚目を得るための期待値は5/4枚になります。(ここがクーポン収集問題のミソ)
  • c)の確率は同様に3/5なので、期待値5/3枚
  • d)の確率は同様に2/5なので、期待値5/2枚
  • e)の確率は同様に1/5なので、期待値5枚
  • これらの総和なので
    \frac{5}{5}+\frac{5}{4}+\frac{5}{3}+\frac{5}{2}+\frac{5}{1}=5\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1}\right)=5\left(\frac{24}{120}+\frac{30}{120}+\frac{40}{120}+\frac{60}{120}+\frac{120}{120}\right)=\frac{5}{120}\left(24+30+40+60+120\right)=\frac{5}{120}\left(24+30+40+60+120\right)=\frac{5}{120}\cdot274\approx11.41667
  • となる

答え

  • 約11.41667回。\frac{1370}{120}

ジャンル:数学


*1  Twitter / tomoaki_teshima: まどか☆マギカの第1週来場者特典は5種類の色紙(ランダム配布 ..., 2013-10-21ツイート
*2  THEATER | 劇場版 魔法少女まどか☆マギカ[新編]叛逆の物語(来場者特典), 2013-11-06閲覧

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Last-modified: 2013-11-06 (水) 22:29:18 (1479d)