友人と0.999...=1か?と言う議論になったので,その証明

もっとも,Wikipediaの記事の方が100倍優秀なのだが

定義

  • 毎回0.999...と書くと面倒なので,
  • 0.999...=0.\dot{9}と定義する

分数を使った説明

  • \frac{1}{3}\quad\quad\quad=0.\dot{3}   右辺は無限少数
  • \frac{1}{3} * 3=0.\dot{3} * 3 両辺をナベアツ3倍した
  • 1\quad\quad\quad=0.\dot{9}   等しい数同士に等しい数をかけたので,両辺が等しいことを意味する.

減算を使った説明

  • 1-0.\dot{9}=0.\dot{0}
  • 直感的には分かりづらいかも知れないが,差分の結果は永遠に0が続く少数になる
  • 全桁0なので,0.\dot{0} = 0
  • 差がない,ということは両辺が等しいことを意味する.

等比数列の無限級数を使った説明

  • 0.\dot{9}を以下のように等比数列の無限級数と考える
  • 初項がa_1=0.9,公比r=0.1である数列の無限級数
  • 数列の一般項はa_1r^{n-1}
  • 等比級数の和の公式はS_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}に当てはめると
  • S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}=\frac{0.9(0.1^n-1)}{-0.9}
  • これのnを無限大まで飛ばしたのが無限級数
  • 0.\dot{9}=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{0.9(0.1^n-1)}{-0.9}=\lim_{n\to\infty}-(0.1^n-1)=\lim_{n\to\infty}1-0.1^n=1
  • という訳で,無限級数で表すと,0.\dot{9}が1に等しいと説明できる

あとがき

  • 本当は減算は厳密にやる必要があるらしいが,多分中学生レベルでも理解できると思うので,そこまでは追求しない
  • 計算機の中では,+0と-0という,2つのゼロを扱う場合があるが,そこら辺の理論がかんでくるらしい.よく知らない.

ジャンル:数学


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Last-modified: 2010-01-12 (火) 16:14:52 (2873d)