連チャン回数の期待値 - AkiWiki

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Jetson Xavier

問題
解法1
解法2
参考

問題 †

フィーバーが始まった状態で，一定確率で連チャンする．
連チャンする確率は回数に依存せず，常に一定の確率で連チャンする．
そのとき，連チャン回数の期待値を求めよ．

解法1 †

連チャン確率を $r$ とし， $r<1$ とする．
$n$ 回連チャンする確率を $a_n$ で表す
$a_{1}=(1-r)$ 連チャンに失敗する確率は $1-r$
$a_{2}=r(1-r)$ 2連チャンは2連チャンした後に3度目を失敗する．
$a_{3}=r^2(1-r)$ 3連チャンは3連チャンした後に4度目を失敗する．
$\vdots$ 以下同
$a_{n}=r^{n-1}(1-r)$ 連チャンの回数の一般項
期待値を計算するためには回数と確率を掛け算し，足し合わせる
和の一般項を求める
$S\(n\)=\sum^n_{k=0}ka_k$ $=\sum^n_{k=0}kr^{k-1}(1-r)$ $=(1-r)\sum^n_{k=0}kr^{k-1}$ $=(1-r)\(1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\)$
ここで， $S\(n\)-rS\(n\)$ を考える
$S\(n\)=(1-r)(nr^{n-1}+\cdots+3r^2+2r+1)$
$rS\(n\)=(1-r)(nr^n+\cdots+2r^2+r)$
$S\(n\)-rS\(n\)$ $=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n)$
ここで， $(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$ は初項が1，公比が $r$ の数列の1から $n$ までの和
$\sum^n_{k=1}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}$ で表せる
$S\(n\)-rS\(n\)$ $=(1-r)S\(n\)$ $=(1-r)(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n)$
ここで両辺を $1-r$ で割る
$S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\)$
この和の一般項の極限を取る
$\lim_{n\to\infty}S\(n\)$ $=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\)$ $=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n-1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n$ $=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{r-1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n$ $=0-\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n$
整理すると
$\lim_{n\to\infty}S\(n\)$ $=\frac{1}{1-r}-\lim_{n\to\infty}nr^n$
ここで $O\(n\)<O\(r^n\)$ なので $\lim_{n\to\infty}nr^n=0$ が知られている
よって整理すると
$\lim_{n\to\infty}S\(n\)$ $=\frac{1}{1-r}$
言葉で説明すると，平均連チャン回数は
1÷連チャンしない確率なのである．

解法2 †

連チャン確率を $r$ とし， $r<1$ とする．
$n$ 回勝つ確率を $a_n$ で表す
$a_{1}=1$ 1勝したところから話は始まる
$a_{2}=r$ 2勝は1勝した人の内 $r$ だけ
$a_{3}=r^2$ 3勝は2勝した人の内 $r$ だけ
$\vdots$ 以下同
$a_{n}=r^{n-1}$ n回勝つ確率の一般項
期待値を計算するためには各確率の和をとればよい．
和の一般項を求める
$S\(n\)=\sum^n_{k=1}a_{n}$ $=\sum^n_{k=1}r^{n-1}$
ここで， $r^{n-1}$ は初項が1，公比が $r$ の数列の1から $n$ までの和である
$S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}\)$
この和の一般項の極限を取る
$\lim_{n\to\infty}S\(n\)$ $=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}\)$ $=-\frac{1}{r-1}$ $=\frac{1}{1-r}$
言葉で説明すると，平均連チャン回数は
1÷連チャンしない確率なのである．

参考 †

下記添付ファイルにイメージ図をPOV-Rayで描いてみた
やりたいことは，このできたオブジェクトの形をならしたときの高さ
勝率80%で50勝した時のイメージ
ちなみに，なんとなく勝率80%，95%，98%を比較してみた．
勝率80%と95%の比較左から順に95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
勝率80%と95%と98%の比較左から順に98%，95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
意外に98%と95%の差が大きくてびっくりした．
かっとなってやった．今は反省している．

ジャンル:数学

添付ファイル:

result3.png 1463件 [詳細]

result2.png 449件 [詳細]

result.png 514件 [詳細]

Last-modified: 2010-02-16 (火) 14:55:58 (3654d)