連チャン回数の期待値
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問題
解法1
解法2
参考
問題
†
フィーバーが始まった状態で,一定確率で連チャンする.
連チャンする確率は回数に依存せず,常に一定の確率で連チャンする.
そのとき,
連チャン回数の期待値
を求めよ.
↑
解法1
†
連チャン確率を
とし,
とする.
回連チャンする確率を
で表す
連チャンに失敗する確率は
2連チャンは2連チャンした後に3度目を失敗する.
3連チャンは3連チャンした後に4度目を失敗する.
以下同
連チャンの回数の一般項
期待値を計算するためには回数と確率を掛け算し,足し合わせる
和の一般項を求める
ここで,
を考える
ここで,
は初項が1,公比が
の数列の1から
までの和
で表せる
ここで両辺を
で割る
この和の一般項の極限を取る
整理すると
ここで
なので
が知られている
よって整理すると
言葉で説明すると,平均連チャン回数は
1÷
連チャンしない確率
なのである.
↑
解法2
†
連チャン確率を
とし,
とする.
回勝つ確率を
で表す
1勝したところから話は始まる
2勝は1勝した人の内
だけ
3勝は2勝した人の内
だけ
以下同
n回勝つ確率の一般項
期待値を計算するためには各確率の和をとればよい.
和の一般項を求める
ここで,
は初項が1,公比が
の数列の1から
までの和である
この和の一般項の極限を取る
言葉で説明すると,平均連チャン回数は
1÷
連チャンしない確率
なのである.
↑
参考
†
下記添付ファイルにイメージ図をPOV-Rayで描いてみた
やりたいことは,このできたオブジェクトの形をならしたときの高さ
勝率80%で50勝した時のイメージ
ちなみに,なんとなく勝率80%,95%,98%を比較してみた.
勝率80%と95%の比較
左から順に95%,80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた.
勝率80%と95%と98%の比較
左から順に98%,95%,80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた.
意外に98%と95%の差が大きくてびっくりした.
かっとなってやった.今は反省している.
ジャンル
:数学
添付ファイル:
result3.png
1414件
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]
result2.png
395件
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詳細
]
result.png
473件
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詳細
]
Last-modified: 2010-02-16 (火) 14:55:58 (3290d)
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