問題 †

  • フィーバーが始まった状態で，一定確率で連チャンする．
  • 連チャンする確率は回数に依存せず，常に一定の確率で連チャンする．
  • そのとき，連チャン回数の期待値を求めよ．
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解法1 †

  • 連チャン確率をrとし，r<1とする．
  • n回連チャンする確率をa_nで表す
  • a_{1}=(1-r) 連チャンに失敗する確率は1-r
  • a_{2}=r(1-r) 2連チャンは2連チャンした後に3度目を失敗する．
  • a_{3}=r^2(1-r) 3連チャンは3連チャンした後に4度目を失敗する．
  • \vdots 以下同
  • a_{n}=r^{n-1}(1-r) 連チャンの回数の一般項
  • 期待値を計算するためには回数と確率を掛け算し，足し合わせる
  • 和の一般項を求める
  • S\(n\)=\sum^n_{k=0}ka_k =\sum^n_{k=0}kr^{k-1}(1-r) =(1-r)\sum^n_{k=0}kr^{k-1} =(1-r)\(1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\)
  • ここで，S\(n\)-rS\(n\)を考える
  • S\(n\)=(1-r)(nr^{n-1}+\cdots+3r^2+2r+1)
  • rS\(n\)=(1-r)(nr^n+\cdots+2r^2+r)
  • S\(n\)-rS\(n\) =(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n)
  • ここで，(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})は初項が1，公比がrの数列の1からnまでの和
  • \sum^n_{k=1}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}で表せる
  • S\(n\)-rS\(n\) =(1-r)S\(n\) =(1-r)(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n)
  • ここで両辺を\(1-r\)で割る
  • S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\)
  • この和の一般項の極限を取る
  • \lim_{n\to\infty}S\(n\) =\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\) =\lim_{n\to\infty}\frac{r^n-1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n =\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{r-1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n =0-\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n
  • 整理すると
  • \lim_{n\to\infty}S\(n\) =\frac{1}{1-r}-\lim_{n\to\infty}nr^n
  • ここでO\(n\)<O\(r^n\)なので\lim_{n\to\infty}nr^n=0が知られている
  • よって整理すると
  • \lim_{n\to\infty}S\(n\) =\frac{1}{1-r}
  • 言葉で説明すると，平均連チャン回数は
  • 1÷連チャンしない確率なのである．
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解法2 †

  • 連チャン確率をrとし，r<1とする．
  • n回勝つ確率をa_nで表す
  • a_{1}=1 1勝したところから話は始まる
  • a_{2}=r 2勝は1勝した人の内rだけ
  • a_{3}=r^2 3勝は2勝した人の内rだけ
  • \vdots 以下同
  • a_{n}=r^{n-1} n回勝つ確率の一般項
  • 期待値を計算するためには各確率の和をとればよい．
  • 和の一般項を求める
  • S\(n\)=\sum^n_{k=1}a_{n} =\sum^n_{k=1}r^{n-1}
  • ここで，r^{n-1}は初項が1，公比がrの数列の1からnまでの和である
  • S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}\)
  • この和の一般項の極限を取る
  • \lim_{n\to\infty}S\(n\) =\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}\) =-\frac{1}{r-1} =\frac{1}{1-r}
  • 言葉で説明すると，平均連チャン回数は
  • 1÷連チャンしない確率なのである．
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参考 †

  • 下記添付ファイルにイメージ図をPOV-Rayで描いてみた
  • やりたいことは，このできたオブジェクトの形をならしたときの高さ
  • 勝率80%で50勝した時のイメージ
  • ちなみに，なんとなく勝率80%，95%，98%を比較してみた．
  • 勝率80%と95%の比較 左から順に95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
  • 勝率80%と95%と98%の比較 左から順に98%，95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
  • 意外に98%と95%の差が大きくてびっくりした．
  • かっとなってやった．今は反省している．

ジャンル:数学
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Last-modified: 2010-02-16 (火) 14:55:58 (3018d)