[[FrontPage]]

-[[京都大学の問題らしい>https://twitter.com/qqww38476/status/957526537128914947]]&note{refere-tweet-kyoto-uni-math:[[すけのすけさんのツイート: "京大らしい問題… ">https://twitter.com/qqww38476/status/957526537128914947]]};

*問題 [#n98d52af]

-&mimetex(n);を正の整数とするとき、&mimetex(n^2);を&mimetex(2n-1);で割った余りが7になるような&mimetex(n);を全て求めよ。

*解説 [#r6abec94]
-&mimetex(n);同様、正の整数&mimetex(m);を使って、問題文を書き換える
--&mimetex(n^2=m(2n-1)+7);
--このような式を満たす&mimetex(n);(と&mimetex(m);)を求める
-まずは式を変形する
--&mimetex(n^2-m(2n-1)-7=n^2-2mn+(m-7)=0);

-&mimetex(m);をとりあえず定数として、&mimetex(n);についての二次方程式として、解の公式に当てはめると

--&mimetex(n=\frac{2m\pm\sqrt{4m^2-4(m-7)}}{2}=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)});

-となる。
-&mimetex(n);は正の整数でなくてはならないので、根号の中は平方数である必要がある
-かつ、&mimetex(m);も正の整数でなくてはならない。

**根号の中身 [#hc150458]
-あらたに正の整数&mimetex(p);を使って、根号の中身を以下のように表す

--&mimetex(m^2-(m-7)=p^2);

-この数式を満たすような&mimetex(m,p);を考えなくてはいけない。
-式を変形して以下のようにする

--&mimetex(p^2-m^2+m-7=0);

-第2項以降をまとめて2乗の形にかければ、すっきりしそうなので&mimetex(m);について平方完成する。

--&mimetex(m^2-m+7=0);
--&mimetex(m^2-m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+7=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}=0);
--&mimetex(m^2-m+7=m^2-m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+7=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4});

-これで&mimetex(m);に関する項目だけは2乗にまとめた。
-もとの式に代入すると、以下の式になる

--&mimetex(p^2-(m-\frac{1}{2})^2-\frac{27}{4}=0);

-分数が邪魔なので、式全体を4倍する

--&mimetex(4p^2-(2m-1)^2-27=0);

-定数項を右辺に移動する

--&mimetex(4p^2-(2m-1)^2=27);

-これで、左辺が「&mimetex(X^2-A^2=(X-A)(X+A));」の形に変形できる

--&mimetex(4p^2-(2m-1)^2=(2p-(2m-1))(2p+(2m-1))=(2p-2m+1)(2p+2m-1)=27);

-ここで、左辺は構成する要素が全て整数なので、左辺は整数×整数でなくてはならない。
-整数×整数で積が27になるのは、&mimetex(9\times 3);と&mimetex(1\times 27);の組み合わせしか無いので、それぞれの場合を考える

|2p-2m+1|2p+2m-1|p|m|
|9|3|3|-1|
|3|9|3|2|
|27|1|7|-6|
|1|27|7|7|

-この内、&mimetex(m);が負の数になってるのは要件を満たさないので、&mimetex(m);は2もしくは7である。

**nに戻って [#oc176d97]
-&mimetex(m);が2の場合と7の場合それぞれの場合で&mimetex(n);を求めてみる

-&mimetex(m=2);の場合

--&mimetex(n=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)}=2\pm\sqrt{2^2-(2-7)}=2\pm3);

-&mimetex(m=7);の場合

--&mimetex(n=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)}=7\pm\sqrt{7^2-(7-7)}=7\pm7);

-それぞれの符号を考慮すると&mimetex(n=-1,5,0,14);の4通り。

-&mimetex(n);は正の整数なので、-1,0は条件に合わない。よって、答えは&mimetex(n=5,14);

*念のため [#k2596e9d]
-&mimetex(n=5);の場合
--&mimetex(n^2=25);
--&mimetex(2n-1=9);
--&mimetex(25 = 2 \times 9 + 7);
--ちゃんと、&mimetex(m=2);でもあった
-&mimetex(n=14);の場合
--&mimetex(n^2=196);
--&mimetex(2n-1=27);
--&mimetex(196 = 7 \times 27 + 7);
--ちゃんと、&mimetex(m=7);でもあった

*感想 [#ud74a0e5]
-最初はしらみつぶしに調べ上げる他ないのかと思ってたけれど、根号が平方数になる条件を調べると、&mimetex(m);が確定するのがとても美しい。

ジャンル[[:数学]]

トップ   編集 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS