割って7余るn

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• 京都大学の問題らしい&note{refere-tweet-kyoto-uni-math:すけのすけさんのツイート: "京大らしい問題… "};

問題†

• &mimetex(n);を正の整数とするとき、&mimetex(n^2);を&mimetex(2n-1);で割った余りが7になるような&mimetex(n);を全て求めよ。

解説†

• &mimetex(n);同様、正の整数&mimetex(m);を使って、問題文を書き換える
  • &mimetex(n^2=m(2n-1)+7);
  • このような式を満たす&mimetex(n);(と&mimetex(m);)を求める
• まずは式を変形する
  • &mimetex(n^2-m(2n-1)-7=n^2-2mn+(m-7)=0);

• &mimetex(m);をとりあえず定数として、&mimetex(n);についての二次方程式として、解の公式に当てはめると

• &mimetex(n=\frac{2m\pm\sqrt{4m^2-4(m-7)}}{2}=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)});

• となる。
• &mimetex(n);は正の整数でなくてはならないので、根号の中は平方数である必要がある
• かつ、&mimetex(m);も正の整数でなくてはならない。

根号の中身†

• あらたに正の整数&mimetex(p);を使って、根号の中身を以下のように表す

• &mimetex(m^2-(m-7)=p^2);

• この数式を満たすような&mimetex(m,p);を考えなくてはいけない。
• 式を変形して以下のようにする

• &mimetex(p^2-m^2+m-7=0);

• 第2項以降をまとめて2乗の形にかければ、すっきりしそうなので&mimetex(m);について平方完成する。

• &mimetex(m^2-m+7=m^2-m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+7=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4});

• これで&mimetex(m);に関する項目だけは2乗にまとめた。
• もとの式に代入すると、以下の式になる

• &mimetex(p^2-(m-\frac{1}{2})^2-\frac{27}{4}=0);

• 分数が邪魔なので、式全体を4倍する

• &mimetex(4p^2-(2m-1)^2-27=0);

• 定数項を右辺に移動する

• &mimetex(4p^2-(2m-1)^2=27);

• これで、左辺が「&mimetex(X^2-A^2=(X-A)(X+A));」の形に変形できる

• &mimetex(4p^2-(2m-1)^2=(2p-(2m-1))(2p+(2m-1))=(2p-2m+1)(2p+2m-1)=27);

• ここで、左辺は構成する要素が全て整数なので、左辺は整数×整数でなくてはならない。
• 整数×整数で積が27になるのは、&mimetex(9\times 3);と&mimetex(1\times 27);の組み合わせしか無いので、それぞれの場合を考える

• この内、&mimetex(m);が負の数になってるのは要件を満たさないので、&mimetex(m);は2もしくは7である。

nに戻って†

• &mimetex(m);が2の場合と7の場合それぞれの場合で&mimetex(n);を求めてみる

• &mimetex(m=2);の場合

• &mimetex(n=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)}=2\pm\sqrt{2^2-(2-7)}=2\pm3);

• &mimetex(m=7);の場合

• &mimetex(n=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)}=7\pm\sqrt{7^2-(7-7)}=7\pm7);

• それぞれの符号を考慮すると&mimetex(n=-1,5,0,14);の4通り。

• &mimetex(n);は正の整数なので、-1,0は条件に合わない。よって、答えは&mimetex(n=5,14);

念のため†

• &mimetex(n=5);の場合
  • &mimetex(n^2=25);
  • &mimetex(2n-1=9);
  • &mimetex(25 = 2 \times 9 + 7);
  • ちゃんと、&mimetex(m=2);でもあった
• &mimetex(n=14);の場合
  • &mimetex(n^2=196);
  • &mimetex(2n-1=27);
  • &mimetex(196 = 7 \times 27 + 7);
  • ちゃんと、&mimetex(m=7);でもあった

感想†

• 最初はしらみつぶしに調べ上げる他ないのかと思ってたけれど、根号が平方数になる条件を調べると、&mimetex(m);が確定するのがとても美しい。

ジャンル:数学

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