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問題

  • nを正の整数とするとき、n^22n-1で割った余りが7になるようなnを全て求めよ。

解説

  • n同様、正の整数mを使って、問題文を書き換える
    • n^2=m(2n-1)+7
    • このような式を満たすn(とm)を求める
  • まずは式を変形する
    • n^2-m(2n-1)-7=n^2-2mn+(m-7)=0
  • mをとりあえず定数として、nについての二次方程式として、解の公式に当てはめると
  • n=\frac{2m\pm\sqrt{4m^2-4(m-7)}}{2}=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)}
  • となる。
  • nは正の整数でなくてはならないので、根号の中は平方数である必要がある
  • かつ、mも正の整数でなくてはならない。

根号の中身

  • あらたに正の整数pを使って、根号の中身を以下のように表す
  • m^2-(m-7)=p^2
  • この数式を満たすようなm,pを考えなくてはいけない。
  • 式を変形して以下のようにする
  • p^2-m^2+m-7=0
  • 第2項以降をまとめて2乗の形にかければ、すっきりしそうなのでmについて平方完成する。
  • m^2-m+7=m^2-m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+7=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}
  • これでmに関する項目だけは2乗にまとめた。
  • もとの式に代入すると、以下の式になる
  • p^2-(m-\frac{1}{2})^2-\frac{27}{4}=0
  • 分数が邪魔なので、式全体を4倍する
  • 4p^2-(2m-1)^2-27=0
  • 定数項を右辺に移動する
  • 4p^2-(2m-1)^2=27
  • これで、左辺が「X^2-A^2=(X-A)(X+A)」の形に変形できる
  • 4p^2-(2m-1)^2=(2p-(2m-1))(2p+(2m-1))=(2p-2m+1)(2p+2m-1)=27
  • ここで、左辺は構成する要素が全て整数なので、左辺は整数×整数でなくてはならない。
  • 整数×整数で積が27になるのは、9\times 31\times 27の組み合わせしか無いので、それぞれの場合を考える
2p-2m+12p+2m-1pm
933-1
3932
2717-6
12777
  • この内、mが負の数になってるのは要件を満たさないので、mは2もしくは7である。

nに戻って

  • mが2の場合と7の場合それぞれの場合でnを求めてみる
  • m=2の場合
  • n=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)}=2\pm\sqrt{2^2-(2-7)}=2\pm3
  • m=7の場合
  • n=m\pm\sqrt{m^2-(m-7)}=7\pm\sqrt{7^2-(7-7)}=7\pm7
  • それぞれの符号を考慮するとn=-1,5,0,14の4通り。
  • nは正の整数なので、-1,0は条件に合わない。よって、答えはn=5,14

念のため

  • n=5の場合
    • n^2=25
    • 2n-1=9
    • 25 = 2 \times 9 + 7
    • ちゃんと、m=2でもあった
  • n=14の場合
    • n^2=196
    • 2n-1=27
    • 196 = 7 \times 27 + 7
    • ちゃんと、m=7でもあった

感想

  • 最初はしらみつぶしに調べ上げる他ないのかと思ってたけれど、根号が平方数になる条件を調べると、mが確定するのがとても美しい。

ジャンル:数学


*1  すけのすけさんのツイート: "京大らしい問題… "

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Last-modified: 2018-05-28 (月) 10:35:37 (27d)