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*問題 [#i3ca81be]
//-フィーバーがある確率で始まり，その後一定確率で連チャンするする．
-フィーバーが始まった状態で，一定確率で連チャンする．
-連チャンする確率は回数に依存せず，常に一定の確率で連チャンする．
-そのとき，''連チャン回数の期待値''を求めよ．
*解法1 [#u0b6781c]
-連チャン確率を&mimetex(r);とし，&mimetex(r<1);とする．
//フィーバーが始まる確率を&mimetex(p);とする．
-&mimetex(n);回連チャンする確率を&mimetex(a_n);で表す
//-&mimetex(a_{0}=(1-p));フィーバーが始まらない確率は&mimetex(1-p);
-&mimetex(a_{1}=(1-r)); 連チャンに失敗する確率は&mimetex(1-r);
-&mimetex(a_{2}=r(1-r)); 2連チャンは2連チャンした後に3度目を失敗する．
-&mimetex(a_{3}=r^2(1-r)); 3連チャンは3連チャンした後に4度目を失敗する．
-&mimetex(\vdots); 以下同
-&mimetex(a_{n}=r^{n-1}(1-r)); 連チャンの回数の一般項
-期待値を計算するためには回数と確率を掛け算し，足し合わせる
-和の一般項を求める
-&mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=0}ka_k);
&mimetex(=\sum^n_{k=0}kr^{k-1}(1-r));
&mimetex(=(1-r)\sum^n_{k=0}kr^{k-1});
&mimetex(=(1-r)\(1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\));
-ここで，&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));を考える
-&mimetex(S\(n\)=(1-r)(nr^{n-1}+\cdots+3r^2+2r+1));
-&mimetex(rS\(n\)=(1-r)(nr^n+\cdots+2r^2+r));
-&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));
&mimetex(=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n));
-ここで，&mimetex((1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}));は初項が1，公比が&mimetex(r);の数列の1から&mimetex(n);までの和
-&mimetex(\sum^n_{k=1}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1});で表せる
-&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));
&mimetex(=(1-r)S\(n\));
&mimetex(=(1-r)(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n));
-ここで両辺を&mimetex(\(1-r\));で割る
-&mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\));
-この和の一般項の極限を取る
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n-1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{r-1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
&mimetex(=0-\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
-整理すると
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\frac{1}{1-r}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
-ここで&mimetex(O\(n\)<O\(r^n\));なので&mimetex(\lim_{n\to\infty}nr^n=0);が知られている
-よって整理すると
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\frac{1}{1-r});
-言葉で説明すると，平均連チャン回数は
-1÷''連チャンしない確率''なのである．
//-&mimetex(p=r);，つまりフィーバースタートする確率=連チャンの場合，
//-''連チャンする確率''÷''連チャンしない確率''
*解法2 [#c0e9f053]
-連チャン確率を&mimetex(r);とし，&mimetex(r<1);とする．
-&mimetex(n);回勝つ確率を&mimetex(a_n);で表す
-&mimetex(a_{1}=1); 1勝したところから話は始まる
-&mimetex(a_{2}=r); 2勝は1勝した人の内&mimetex(r);だけ
-&mimetex(a_{3}=r^2); 3勝は2勝した人の内&mimetex(r);だけ
-&mimetex(\vdots); 以下同
-&mimetex(a_{n}=r^{n-1}); n回勝つ確率の一般項
-期待値を計算するためには各確率の和をとればよい．
-和の一般項を求める
-&mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=1}a_{n});
&mimetex(=\sum^n_{k=1}r^{n-1});
-ここで，&mimetex(r^{n-1});は初項が1，公比が&mimetex(r);の数列の1から&mimetex(n);までの和である
-&mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}\));
-この和の一般項の極限を取る
-&mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\));
&mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}\));
&mimetex(=-\frac{1}{r-1});
&mimetex(=\frac{1}{1-r});
-言葉で説明すると，平均連チャン回数は
-1÷''連チャンしない確率''なのである．
//-&mimetex(p=r);，つまりフィーバースタートする確率=連チャンの場合，
//-''連チャンする確率''÷''連チャンしない確率''
*参考 [#l42eabf1]
-下記添付ファイルにイメージ図をPOV-Rayで描いてみた
-やりたいことは，このできたオブジェクトの形をならしたときの高さ
-[[勝率80%で50勝した時のイメージ>http://tessy.org/wiki/index.php?plugin=attach&pcmd=open&file=result.png&refer=%CF%A2%A5%C1%A5%E3%A5%F3%B2%F3%BF%F4%A4%CE%B4%FC%C2%D4%C3%CD]]
-ちなみに，なんとなく勝率80%，95%，98%を比較してみた．
-[[勝率80%と95%の比較>http://tessy.org/wiki/index.php?plugin=attach&pcmd=open&file=result2.png&refer=%CF%A2%A5%C1%A5%E3%A5%F3%B2%F3%BF%F4%A4%CE%B4%FC%C2%D4%C3%CD]]
左から順に95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
-[[勝率80%と95%と98%の比較>http://tessy.org/wiki/index.php?plugin=attach&pcmd=open&file=result3.png&refer=%CF%A2%A5%C1%A5%E3%A5%F3%B2%F3%BF%F4%A4%CE%B4%FC%C2%D4%C3%CD]]
左から順に98%，95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
-意外に98%と95%の差が大きくてびっくりした．
-かっとなってやった．今は反省している．
ジャンル[[:数学]]
![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
