&mimetex(x^x);の謎

#contents

*矛盾? [#odd4e026]
**&mimetex(0^x);の系列 [#v2b828fd]
-&mimetex(0^4=0);
-&mimetex(0^3=0);
-&mimetex(0^2=0);
-&mimetex(0^1=0);
-&mimetex(0^0=?); すごく0になるっぽい
**&mimetex(x^0);の系列 [#o00dc7c0]
-&mimetex(4^0=1);
-&mimetex(3^0=1);
-&mimetex(2^0=1);
-&mimetex(1^0=1);
-&mimetex(0^0=?); すごく1になるっぽい。
*グラフ [#j870a966]
&ref(xx.png);
*最小 [#rcea12f4]
-微分してみる。
-&mimetex(f(x)=x^x);

-&mimetex(\log{f(x)}=\log{x^x}=x\log{x});

-&mimetex(\frac{d}{dx}\log{f(x)}=\frac{d}{dx}x\log{x});

-&mimetex(\frac{d}{dx}\log{f(x)}=\frac{1}{f(x)}\frac{d}{dx}f(x)=1\log{x}+x\frac{1}{x}=\log{x}+1);

-&mimetex(\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(\log{x}+1)=x^x(\log{x}+1));

-微分した関数が0になるのは&mimetex(\log{x}=-1);のとき、つまり&mimetex(x=\frac{1}{e});
*最小値のグラフ [#j5d2d499]
&ref(xx-minimum.png);
-近似値として0.36787944117ぐらい

*3次元のグラフ [#h1c5a061]
&ref(xy.png);
-&mimetex(z=x^y); のグラフを描いてみた

-このグラフのうち、&mimetex(y=x);の平面で切断したのが、直前の「最小値のグラフ」

-たしかに途中まで減少した後に増加に転じていることがわかる
-そして、4本の矢印を書き込んだが、グラフの断面が直線状になってるのに、x=y=0 の点から一周してもどってくると、もとの場所に戻らない、という不思議なグラフになっている。
-単純なグラフなのにこんなことが起きるとは、数学は奥が深い

ジャンル[[:数学]]

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