x^xの謎

矛盾？ †

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0^xの系列 †

  • 0^4=0
  • 0^3=0
  • 0^2=0
  • 0^1=0
  • 0^0=? すごく0になるっぽい
↑

x^0の系列 †

  • 4^0=1
  • 3^0=1
  • 2^0=1
  • 1^0=1
  • 0^0=? すごく1になるっぽい。
↑

グラフ †

xx.png

↑

最小 †

  • 微分してみる。
  • f(x)=x^x
  • \log{f(x)}=\log{x^x}=x\log{x}
  • \frac{d}{dx}\log{f(x)}=\frac{d}{dx}x\log{x}
  • \frac{d}{dx}\log{f(x)}=\frac{1}{f(x)}\frac{d}{dx}f(x)=1\log{x}+x\frac{1}{x}=\log{x}+1
  • \frac{d}{dx}f(x)=f(x)(\log{x}+1)=x^x(\log{x}+1)
  • 微分した関数が0になるのは\log{x}=-1のとき、つまりx=\frac{1}{e}
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最小値のグラフ †

xx-minimum.png

  • 近似値として0.36787944117ぐらい
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3次元のグラフ †

xy.png

  • z=x^y のグラフを描いてみた
  • このグラフのうち、y=xの平面で切断したのが、直前の「最小値のグラフ」
  • たしかに途中まで減少した後に増加に転じていることがわかる
  • そして、4本の矢印を書き込んだが、グラフの断面が直線状になってるのに、x=y=0 の点から一周してもどってくると、もとの場所に戻らない、という不思議なグラフになっている。
  • 単純なグラフなのにこんなことが起きるとは、数学は奥が深い

ジャンル:数学
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Last-modified: 2018-08-30 (木) 18:44:25 (264d)