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$x^x$ の謎

矛盾？
- の系列
- の系列
グラフ
最小
最小値のグラフ
3次元のグラフ

矛盾？ †

$0^x$ の系列 †

$0^4=0$
$0^3=0$
$0^2=0$
$0^1=0$
$0^0=?$ すごく0になるっぽい

$x^0$ の系列 †

$4^0=1$
$3^0=1$
$2^0=1$
$1^0=1$
$0^0=?$ すごく1になるっぽい。

グラフ †

最小 †

微分してみる。
$f(x)=x^x$

$\log{f(x)}=\log{x^x}=x\log{x}$

$\frac{d}{dx}\log{f(x)}=\frac{d}{dx}x\log{x}$

$\frac{d}{dx}\log{f(x)}=\frac{1}{f(x)}\frac{d}{dx}f(x)=1\log{x}+x\frac{1}{x}=\log{x}+1$

$\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(\log{x}+1)=x^x(\log{x}+1)$

微分した関数が0になるのは $\log{x}=-1$ のとき、つまり $x=\frac{1}{e}$

最小値のグラフ †

近似値として0.36787944117ぐらい

3次元のグラフ †

$z=x^y$ のグラフを描いてみた

このグラフのうち、 $y=x$ の平面で切断したのが、直前の「最小値のグラフ」

たしかに途中まで減少した後に増加に転じていることがわかる
そして、4本の矢印を書き込んだが、グラフの断面が直線状になってるのに、x=y=0 の点から一周してもどってくると、もとの場所に戻らない、という不思議なグラフになっている。
単純なグラフなのにこんなことが起きるとは、数学は奥が深い

ジャンル:数学

添付ファイル:

xy.png 14件 [詳細]

xx-minimum.png 12件 [詳細]

xx.png 12件 [詳細]

Last-modified: 2018-08-30 (木) 18:44:25 (20d)