元ネタは高校生のときの確率のテストで出題された応用問題。出題した先生がまだ現役で先生されているみたいなので具体的な結果は載せず、解説だけに留める。

お題

七人の侍がいて、それぞれちょうど一本ずつ刀を所持している。
全員で茶屋に入ったところ、刀を外して入店するよう言われたため、それに従い全員刀を外した。
退店時に、全員適当に刀を持って退店したため、全員で刀の元の持ち主を調べることとなった。

このとき、七人の侍全員が、自分のものでない刀を持っている確率はいくつか?

ヒント

n=1の場合

一般化するため、お侍さんの人数をn人として、n=1の場合を考える。 当然、刀も一本なのでこの場合「自分のものでない刀を持っている確率」は0である

n=2の場合

n=2の場合、刀は「自分のもの」か「相手のもの」の二択しかありえないので、「自分のものでない刀を持っている確率」は1/2である

n=3の場合

123   3人とも自分の刀
132
213
231   3人とも間違い(問題文に合致する)
312   3人とも間違い(問題文に合致する)
321

n=4の場合

4!(全通り) - 1(全員が自分の刀を持っている状態) - (1人だけが自分の刀、あとの3人が他人の刀を持っている状態) - (2人だけが自分の刀、あとの2人が他人の刀を持っている状態)

f(2,4)とf(3,4)

1243 1と2は正解
1432 1と3は正解
1324 1と4は正解
4231 2と3は正解
3214 2と4は正解
2134 3と4は正解
f(4,4) = 4! - f(0,4) - f(1,4) - f(2,4)       - f(3,4)
       = 24 - 1      - 0      - 4C2 * f(2,2) - 4C1 * f(3,3)
       = 24 - 1      - 0      - 6   * 1      - 4   * 2
       = 24 - 1      - 0      - 6            - 8
       = 24 - 15
       = 9

n=7の場合、つまりはf(7,7)

f(7,7) = 7!   - f(0,7) - f(1,7) - f(2,7)       - f(3,7)       - f(4,7)       - f(5,7)       - f(6,7)
       = 5040 - 1      - 0      - 7C2 * f(2,2) - 7C3 * f(3,3) - 7C4 * f(4,4) - 7C5 * f(5,5) - 7C6 * f(6,6)
       = 5040 - 1      - 0      - 21  * 1      - 35  * 2      - 35  * 9      - 21  * f(5,5) - 7   * f(6,6)

検算と余談

:数学


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Last-modified: 2023-02-02 (木) 23:44:48