0.999...=1

友人と0.999...=1か？と言う議論になったので，その証明

もっとも，Wikipediaの記事の方が100倍優秀なのだが

定義†

• 毎回0.999...と書くと面倒なので，
• &mimetex(0.999...=0.\dot{9});と定義する

分数を使った説明†

• &mimetex(\frac{1}{3}\quad\quad\quad=0.\dot{3});　　　右辺は無限少数
• &mimetex(\frac{1}{3} * 3=0.\dot{3} * 3);　両辺をナベアツ3倍した
• &mimetex(1\quad\quad\quad=0.\dot{9});　　　等しい数同士に等しい数をかけたので，両辺が等しいことを意味する．

減算を使った説明†

• &mimetex(1-0.\dot{9}=0.\dot{0});
• 直感的には分かりづらいかも知れないが，差分の結果は永遠に0が続く少数になる
• 全桁0なので，&mimetex(0.\dot{0} = 0);
• 差がない，ということは両辺が等しいことを意味する．

等比数列の無限級数を使った説明†

• &mimetex(0.\dot{9});を以下のように等比数列の無限級数と考える
• 初項が&mimetex(a_1=0.9);，公比&mimetex(r=0.1);である数列の無限級数
• 数列の一般項は&mimetex(a_1r^{n-1});
• 等比級数の和の公式は&mimetex(S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1});に当てはめると
• &mimetex(S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}=\frac{0.9(0.1^n-1)}{-0.9});
• これの&mimetex(n);を無限大まで飛ばしたのが無限級数
• &mimetex(0.\dot{9}=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{0.9(0.1^n-1)}{-0.9}=\lim_{n\to\infty}-(0.1^n-1)=\lim_{n\to\infty}1-0.1^n=1);
• という訳で，無限級数で表すと，&mimetex(0.\dot{9});が1に等しいと説明できる

あとがき†

• 本当は減算は厳密にやる必要があるらしいが，多分中学生レベルでも理解できると思うので，そこまでは追求しない
• 計算機の中では，+0と-0という，2つのゼロを扱う場合があるが，そこら辺の理論がかんでくるらしい．よく知らない．

ジャンル:数学

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