二次方程式の曲線は3点指定すれば一意に決まる,というのは中学校で習う数学の知識です. ただ,本当に3点決まれば,一意に決まるのか?イマイチ納得行かない人のために,行列演算の形で説明しようと思います.

二次方程式

行列演算と二次方程式

点の数と行列演算

最低何点必要なの?

問題は2点以下しか与えられなかった場合です.

もうちょっと厳密に詰める

正方行列でない場合,同じ行列の転置行列をかけることで正方行列にする方法があります.これでも駄目だよ,という話

さぁ,いきなり階数なんて言葉が出てきても慌てない

試しにもう1点

実際に点から方程式の曲線を一意に決定する方法

  1. まずは行列を構築する.
    • &mimetex(\Large \text{A}=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\4&2&1\\36&6&1\end{array}\right));
    • &mimetex(\Large \text{Y}=\left(\begin{array}{c}6\\-4\\0\end{array}\right));
    • &mimetex(\Large \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\4&2&1\\36&6&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\-4\\0\end{array}\right));
  2. 逆行列を計算する
    • 逆行列の演算はExcelのminverse関数でもScilabでもMATLABでもoctaveでも使って求めれば良い
    • これぐらいなら掃き出し法で自分でも計算できるはず
    • &mimetex(\Large \text{A}^{-1}=\huge\frac{1}{48}\Large\left(\begin{array}{ccc}4&-6&2\\-32&36&-4\\48&0&0\end{array}\right));
  3. 行列演算
    • &mimetex(\Large \text{X} = \text{A}^{-1}\text{Y} =\huge\frac{1}{48}\Large\left(\begin{array}{ccc}4&-6&2\\-32&36&-4\\48&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\-4\\0\end{array}\right)=\huge\frac{1}{48}\Large\left(\begin{array}{c}48\\-336\\288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-7\\6\end{array}\right));
    • &mimetex(\Large \text{X} = \left(\begin{array}{c}1\\-7\\6\end{array}\right));

もっと厳密な話

:数学


*1 自明
*2 つまり,別々の
*3 与えた4点がそれぞれ同じ方程式の解であるならば

添付ファイル: filesecond-order-and-points.png 1013件 [詳細] filesecond-order-graph.png 992件 [詳細]

トップ   編集 凍結 差分 履歴 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2012-09-01 (土) 17:26:50