連チャン回数の期待値

問題†

• フィーバーが始まった状態で，一定確率で連チャンする．
• 連チャンする確率は回数に依存せず，常に一定の確率で連チャンする．
• そのとき，連チャン回数の期待値を求めよ．

解法1†

• 連チャン確率を&mimetex(r);とし，&mimetex(r<1);とする．
• &mimetex(n);回連チャンする確率を&mimetex(a_n);で表す
• &mimetex(a_{1}=(1-r)); 連チャンに失敗する確率は&mimetex(1-r);
• &mimetex(a_{2}=r(1-r)); 2連チャンは2連チャンした後に3度目を失敗する．
• &mimetex(a_{3}=r^2(1-r)); 3連チャンは3連チャンした後に4度目を失敗する．
• &mimetex(\vdots); 以下同
• &mimetex(a_{n}=r^{n-1}(1-r)); 連チャンの回数の一般項
• 期待値を計算するためには回数と確率を掛け算し，足し合わせる
• 和の一般項を求める
• &mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=0}ka_k); &mimetex(=\sum^n_{k=0}kr^{k-1}(1-r)); &mimetex(=(1-r)\sum^n_{k=0}kr^{k-1}); &mimetex(=(1-r)\(1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\));
• ここで，&mimetex(S\(n\)-rS\(n\));を考える
• &mimetex(S\(n\)=(1-r)(nr^{n-1}+\cdots+3r^2+2r+1));
• &mimetex(rS\(n\)=(1-r)(nr^n+\cdots+2r^2+r));
• &mimetex(S\(n\)-rS\(n\)); &mimetex(=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n));
• ここで，&mimetex((1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}));は初項が1，公比が&mimetex(r);の数列の1から&mimetex(n);までの和
• &mimetex(\sum^n_{k=1}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1});で表せる
• &mimetex(S\(n\)-rS\(n\)); &mimetex(=(1-r)S\(n\)); &mimetex(=(1-r)(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n));
• ここで両辺を&mimetex(\(1-r\));で割る
• &mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\));
• この和の一般項の極限を取る
• &mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\)); &mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}-nr^n\)); &mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n-1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n); &mimetex(=\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{r-1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n); &mimetex(=0-\frac{1}{r-1}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
• 整理すると
• &mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\)); &mimetex(=\frac{1}{1-r}-\lim_{n\to\infty}nr^n);
• ここで&mimetex(O\(n\)<O\(r^n\));なので&mimetex(\lim_{n\to\infty}nr^n=0);が知られている
• よって整理すると
• &mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\)); &mimetex(=\frac{1}{1-r});
• 言葉で説明すると，平均連チャン回数は
• 1÷連チャンしない確率なのである．

解法2†

• 連チャン確率を&mimetex(r);とし，&mimetex(r<1);とする．
• &mimetex(n);回勝つ確率を&mimetex(a_n);で表す
• &mimetex(a_{1}=1); 1勝したところから話は始まる
• &mimetex(a_{2}=r); 2勝は1勝した人の内&mimetex(r);だけ
• &mimetex(a_{3}=r^2); 3勝は2勝した人の内&mimetex(r);だけ
• &mimetex(\vdots); 以下同
• &mimetex(a_{n}=r^{n-1}); n回勝つ確率の一般項
• 期待値を計算するためには各確率の和をとればよい．
• 和の一般項を求める
• &mimetex(S\(n\)=\sum^n_{k=1}a_{n}); &mimetex(=\sum^n_{k=1}r^{n-1});
• ここで，&mimetex(r^{n-1});は初項が1，公比が&mimetex(r);の数列の1から&mimetex(n);までの和である
• &mimetex(S\(n\)=\(\frac{r^n-1}{r-1}\));
• この和の一般項の極限を取る
• &mimetex(\lim_{n\to\infty}S\(n\)); &mimetex(=\lim_{n\to\infty}\(\frac{r^n-1}{r-1}\)); &mimetex(=-\frac{1}{r-1}); &mimetex(=\frac{1}{1-r});
• 言葉で説明すると，平均連チャン回数は
• 1÷連チャンしない確率なのである．

参考†

• 下記添付ファイルにイメージ図をPOV-Rayで描いてみた
• やりたいことは，このできたオブジェクトの形をならしたときの高さ
• 勝率80%で50勝した時のイメージ
• ちなみに，なんとなく勝率80%，95%，98%を比較してみた．
• 勝率80%と95%の比較 左から順に95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
• 勝率80%と95%と98%の比較 左から順に98%，95%，80%の勝率で100勝までの確率を描いてみた．
• 意外に98%と95%の差が大きくてびっくりした．
• かっとなってやった．今は反省している．

ジャンル:数学

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