有名な問題?
100人の生徒がいる.全員の誕生日を調べ,最低1組以上誕生日が重なる生徒が現れる確率を求めよ
(ただし,このクラスに2月29日生まれはいないものとする)
- 全員がばらばらの誕生日である確率を求める
- 問題は↑と背反の事象なので1から引けばよい
- n人の誕生日が全部ばらばらである確率を&mimetex(p\(n\));で表すと
- &mimetex(p\(2\)=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365});
- &mimetex(p\(3\)=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365});
- &mimetex(p\(n\)=\prod_{i=1}^{n}\frac{366-i}{365}=\frac{1}{365^n}\cdot\frac{365!}{(365-n)!});
- 答えは&mimetex(1-\frac{1}{365^n}\cdot\frac{365!}{(365-n)!});
解法(もし2月29日生まれがいたら)†
- いたとしても上記の式を365から366に(そして366を367に)書き換えれば基本的に同じ.
- 2月29日の存在確率が他の誕生日に比べ&mimetex(\frac{1}{4});だとしても基本的には同じ
- よっぽどミソなのはこれが予想外に高い確率でかぶるという結果.
実際の値†
- Gnuplotでプロットしてみた
- 緑の線はp(n)=0.5とn=23
- 縦軸が対数軸になってるのに注目
- 数値
n | &mimetex(p\(n\)); | &mimetex(f\(n\)); |
1 | 1 | 0 |
10 | 0.861218 | 0.138782 |
22 | 0.524304 | 0.475696 |
23 | 0.492703 | 0.507297 |
50 | 0.025638 | 0.974362 |
70 | 0.000681 | 0.999319 |
100 | 0.0000002 | 0.9999998*1 |
次のお題†
100人の生徒がいる.全員の誕生日を調べ,同じ誕生日の生徒が少なくとも3人重なる組が現れる確率を求めよ
(ただし,このクラスに2月29日生まれはいないものとする)
:数学