まどかマギカ［新編］叛逆の物語の来場者特典

ツイッターで発言したので、自分でちゃんと数式を書いておく&note{tiwtter-tomoaki-madomagi-coupon:Twitter / tomoaki_teshima: まどか☆マギカの第１週来場者特典は５種類の色紙（ランダム配布 ..., 2013-10-21ツイート};

問題†

• 「まどか☆マギカ[新編]叛逆の物語」が2013年10月28日から公開され、公開第1週は色紙のプレゼントがありました&note{prize-madoka-magica:THEATER | 劇場版 魔法少女まどか☆マギカ[新編]叛逆の物語(来場者特典), 2013-11-06閲覧};
• この色紙をあなたは全種類集めようと思い立ちました。
• 下記の条件の時、会場に足を運ぶ回数の期待値は何回でしょうか？
  • 1回の上映に足を運ぶと、1枚色紙がもらえる
  • 色紙は全部で5種類ある
  • 絵柄はランダムで、選べない
  • 色紙は十分枚数あり、絵柄の確率は常にそれぞれ1/5である

解説†

• どんどん確率が減りつつも、コンプリートするために通っちゃうこと、ありますよね。
• こういうタイプの問題は「クーポン収集問題」と呼ばれます
  • 詳しくは数学ガール4巻で解説されています
  • 本サイトのお試しかっ！帰れま10で食べる皿の期待値や連チャン回数の期待値なんかもクーポン収集問題の部類に入ります
• この解き方としてはそれぞれの遷移状態に分けます
  a)0種類得ていて、1種類目を得る
  b)1種類得ていて、2種類目を得る
  c)2種類得ていて、3種類目を得る
  d)3種類得ていて、4種類目を得る
  e)4種類得ていて、5種類目を得る
  
• a)の確率は100%です。なので、通う必要がある回数は1回だけです
• b)の確率はどれぐらいでしょうか。
  • 1種類(どの絵柄でも構わない)得ているので、残りの絵柄は4種類です
  • ダブらずに2種類目を得るためには4/5の確率になります
  • なので、ダブらずに2枚目を得るための期待値は5/4枚になります。(ここがクーポン収集問題のミソ）
• c)の確率は同様に3/5なので、期待値5/3枚
• d)の確率は同様に2/5なので、期待値5/2枚
• e)の確率は同様に1/5なので、期待値5枚
• これらの総和なので

  #mimetex(\frac{5}{5}+\frac{5}{4}+\frac{5}{3}+\frac{5}{2}+\frac{5}{1}=5\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1}\right)=5\left(\frac{24}{120}+\frac{30}{120}+\frac{40}{120}+\frac{60}{120}+\frac{120}{120}\right)=\frac{5}{120}\left(24+30+40+60+120\right)=\frac{5}{120}\left(24+30+40+60+120\right)=\frac{5}{120}\cdot274\approx11.41667)

• となる

答え†

• 約11.41667回。&mimetex(\frac{1370}{120});回

ジャンル:数学

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