何故円錐の体積は同じ底面積の円柱の\frac{1}{3}なのか

積分を使って計算

  • 高さh,底面の半径rの円錐を考える.体積はVは以下の通り.
    V=\frac{1}{3}\pi r^2h
  • 積分を使って考える.高さh^\primeの位置で円錐を輪切りにすると,その時点での断面積Sは以下の通り.
    S=\pi \left(r\frac{h^\prime}{h}\right)^2
  • これを0からhまで積分すればよい.
    \int_0^h \pi \left(r \frac{x}{h}\right)^2 dx = \pi\left(\frac{r}{h}\right)^2 \int_0^h x^2 dx = \pi\left(\frac{r}{h}\right)^2\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^h= \pi\left(\frac{r}{h}\right)^2\frac{1}{3}h^3
    = \frac{1}{3}\pi r^2h

区分求積法で説明

  • いきなり積分で説明してもしっくり来ないので,円錐をサイズの違うコインを順に積んだ状態だと考える.
  • n枚のコインで円錐を近似し,その中のk枚目のコインの体積V(k)は以下のようになる.
    V\left(k\right)=\pi \left(\frac{k}{n}r\right)^2 \frac{h}{n}
  • これを1からnまで総和を求めれば円錐の体積Vになる.
    V=\sum_{k=1}^nV(k)=\sum_{k=1}^n \pi \left(\frac{k}{n}r\right)^2 \frac{h}{n}=\pi r^2h \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2
  • ここで2乗和の公式より\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)なので以下のように書き換えることができる.
    V=\pi r^2h \frac{1}{n^3}\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=\pi r^2h\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)
  • 最後はnを約分して分母にまとめた.ここで,n\to\inftyとすることで,近似から正確な体積を求められる.
    \lim_{n\to\infty}\pi r^2h\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\pi r^2h\cdot\frac{1}{6}\cdot1\cdot2
    =\frac{1}{3} \pi r^2h

ジャンル:数学


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Last-modified: 2010-01-12 (火) 16:15:01 (2873d)