円錐の体積

何故円錐の体積は同じ底面積の円柱の&mimetex(\frac{1}{3});なのか

積分を使って計算†

高さh，底面の半径rの円錐を考える．体積はVは以下の通り．
&mimetex(V=\frac{1}{3}\pi r^2h);
積分を使って考える．高さ&mimetex(h^\prime);の位置で円錐を輪切りにすると，その時点での断面積Sは以下の通り．
&mimetex(S=\pi \left(r\frac{h^\prime}{h}\right)^2);
これを0からhまで積分すればよい．
&mimetex(\int_0^h \pi \left(r \frac{x}{h}\right)^2 dx = \pi\left(\frac{r}{h}\right)^2 \int_0^h x^2 dx = \pi\left(\frac{r}{h}\right)^2\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^h= \pi\left(\frac{r}{h}\right)^2\frac{1}{3}h^3);
&mimetex(= \frac{1}{3}\pi r^2h);

いきなり積分で説明してもしっくり来ないので，円錐をサイズの違うコインを順に積んだ状態だと考える．
n枚のコインで円錐を近似し，その中のk枚目のコインの体積V(k)は以下のようになる．
&mimetex(V\left(k\right)=\pi \left(\frac{k}{n}r\right)^2 \frac{h}{n});
これを1からnまで総和を求めれば円錐の体積Vになる．
&mimetex(V=\sum_{k=1}^nV(k)=\sum_{k=1}^n \pi \left(\frac{k}{n}r\right)^2 \frac{h}{n}=\pi r^2h \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2);
ここで2乗和の公式より&mimetex(\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1));なので以下のように書き換えることができる．
&mimetex(V=\pi r^2h \frac{1}{n^3}\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=\pi r^2h\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right));
最後はnを約分して分母にまとめた．ここで，&mimetex(n\to\infty);とすることで，近似から正確な体積を求められる．
&mimetex(\lim_{n\to\infty}\pi r^2h\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\pi r^2h\cdot\frac{1}{6}\cdot1\cdot2);
&mimetex(=\frac{1}{3} \pi r^2h);

ジャンル:数学