有名な問題?

100人の生徒がいる.全員の誕生日を調べ,最低1組以上誕生日が重なる生徒が現れる確率を求めよ
(ただし,このクラスに2月29日生まれはいないものとする)

解法

  • 全員がばらばらの誕生日である確率を求める
  • 問題は↑と背反の事象なので1から引けばよい
  • n人の誕生日が全部ばらばらである確率をp\(n\)で表すと
  • p\(1\)=1
  • p\(2\)=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}
  • p\(3\)=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}
  • p\(n\)=\prod_{i=1}^{n}\frac{366-i}{365}=\frac{1}{365^n}\cdot\frac{365!}{(365-n)!}
  • 答えは1-\frac{1}{365^n}\cdot\frac{365!}{(365-n)!}

解法(もし2月29日生まれがいたら)

  • いたとしても上記の式を365から366に(そして366を367に)書き換えれば基本的に同じ.
  • 2月29日の存在確率が他の誕生日に比べ\frac{1}{4}だとしても基本的には同じ
  • よっぽどミソなのはこれが予想外に高い確率でかぶるという結果.

実際の値

  • Gnuplotでプロットしてみた birthday.png
    • 緑の線はp(n)=0.5とn=23
    • 縦軸が対数軸になってるのに注目
  • 数値
    np\(n\)f\(n\)
    110
    100.8612180.138782
    220.5243040.475696
    230.4927030.507297
    500.0256380.974362
    700.0006810.999319
    1000.00000020.9999998*1

次のお題

100人の生徒がいる.全員の誕生日を調べ,同じ誕生日の生徒が少なくとも3人重なる組が現れる確率を求めよ
(ただし,このクラスに2月29日生まれはいないものとする)

:数学


*1 伊吹マヤ:「本部命中率、シックスナインです!!」

添付ファイル: filebirthday.plt 237件 [詳細] filebirthday.png 377件 [詳細]

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Last-modified: 2012-02-15 (水) 09:17:25 (2110d)