3次元のHomography

変換前を $\bf{x}$ 、変換後を $\bf{x}^\prime$ 、ホモグラフィを $\rm{H}$ として、次式で表せる
$\rm{H}\bf{x}=s\bf{x}^\prime$
ここで、ホモグラフィ行列 $\rm{H}$ も斉次座標 $\bf{x}$ 、 $\bf{x}^\prime$ も、スケーリングの不定性がある
言い換えれば、右辺だけ2倍しても等式が成り立ってしまう
その不定性を表すために、右辺にスケールファクターとして $s$ を導入した
各ベクトル、行列を要素ごとに書くと、次式のようになる

$\left(\begin{array}{cccc}h_{11}&h_{12}&h_{13}&h_{14}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&h_{24}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}&h_{34}\\h_{41}&h_{42}&h_{43}&1\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}sx^\prime\\sy^\prime\\sz^\prime\\s\\\end{array}\right)$

ホモグラフィのスケーリングを固定するために、 $h_{44}=1$ とする
この行列式を分解すると、下記の4本の方程式が導出される

$\left\{\begin{array}{l}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}&=&sx^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}&=&sy^\prime\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}&=&sz^\prime\\h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1&=&s\\\end{array}$

ただ、4本の方程式それぞれは $s$ に関して従属性があるので、独立な方程式は3本得られる
4本の式から $s$ を消去して次の3式を得る

$\left\{\begin{array}{l}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}&=&\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)x^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}&=&\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)y^\prime\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}&=&\left(h_{41}x+h_{42}y+h_{43}z+1\right)z^\prime\\\end{array}$

$\rm{H}$ のパラメータを含む項だけを左辺に移して整理して、次の3式を得る

$\left\{\begin{array}{c}h_{11}x+h_{12}y+h_{13}z+h_{14}-h_{41}xx^\prime-h_{42}yx^\prime-h_{43}zx^\prime&=x^\prime\\h_{21}x+h_{22}y+h_{23}z+h_{24}-h_{41}xy^\prime-h_{42}yy^\prime-h_{43}zy^\prime&=y^\prime\\\\h_{31}x+h_{32}y+h_{33}z+h_{34}-h_{41}xz^\prime-h_{42}yz^\prime-h_{42}zz^\prime&=z^\prime\\\end{array}$

これを行列の形で表すと，次式になる

$\left(\begin{array}{ccccccccccccccc}x&y&z&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-xx^\prime&-yx^\prime&-zx^\prime\\0&0&0&0&x&y&z&1&0&0&0&0&-xy^\prime&-yy^\prime&-zy^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x&y&z&1&-xz^\prime&-yz^\prime&-zz^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{14}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{array}\right)$

この連立方程式を解けばホモグラフィの15個のパラメータ $h_{11}-h_{43}$ が求まる
1つの対応点から得られる方程式は3本
よって15÷3で5組の対応点が必要となる
今 $\bf{x}_i=\left(\begin{array}{c}x_i & y_i & z_i\\\end{array}\right)$ という点を5組導入すると，次式のように書き換えられる

$\left(\begin{array}{ccccccccccccccc}x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_1x_1^\prime&-y_1x_1^\prime&-z_1x_1^\prime\\0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&-x_1y_1^\prime&-y_1y_1^\prime&-z_1y_1^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&-x_1z_1^\prime&-y_1z_1^\prime&-z_1z_1^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{14}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1^\prime\\y_1^\prime\\z_1^\prime\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_1x_1^\prime&-y_1x_1^\prime&-z_1x_1^\prime\\0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&0&0&0&0&-x_1y_1^\prime&-y_1y_1^\prime&-z_1y_1^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_1&y_1&z_1&1&-x_1z_1^\prime&-y_1z_1^\prime&-z_1z_1^\prime\\x_2&y_2&z_2&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_2x_2^\prime&-y_2x_2^\prime&-z_2x_2^\prime\\0&0&0&0&x_2&y_2&z_2&1&0&0&0&0&-x_2y_2^\prime&-y_2y_2^\prime&-z_2y_2^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_2&y_2&z_2&1&-x_2z_2^\prime&-y_2z_2^\prime&-z_2z_2^\prime\\x_3&y_3&z_3&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_3x_3^\prime&-y_3x_3^\prime&-z_3x_3^\prime\\0&0&0&0&x_3&y_3&z_3&1&0&0&0&0&-x_3y_3^\prime&-y_3y_3^\prime&-z_3y_3^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_3&y_3&z_3&1&-x_3z_3^\prime&-y_3z_3^\prime&-z_3z_3^\prime\\x_4&y_4&z_4&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_4x_4^\prime&-y_4x_4^\prime&-z_4x_4^\prime\\0&0&0&0&x_4&y_4&z_4&1&0&0&0&0&-x_4y_4^\prime&-y_4y_4^\prime&-z_4y_4^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_4&y_4&z_4&1&-x_4z_4^\prime&-y_4z_4^\prime&-z_4z_4^\prime\\x_5&y_5&z_5&1&0&0&0&0&0&0&0&0&-x_5x_5^\prime&-y_5x_5^\prime&-z_5x_5^\prime\\0&0&0&0&x_5&y_5&z_5&1&0&0&0&0&-x_5y_5^\prime&-y_5y_5^\prime&-z_5y_5^\prime\\0&0&0&0&0&0&0&0&x_5&y_5&z_5&1&-x_5z_5^\prime&-y_5z_5^\prime&-z_5z_5^\prime\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}h_{11}\\h_{12}\\h_{13}\\h_{13}\\h_{21}\\h_{22}\\h_{23}\\h_{24}\\h_{31}\\h_{32}\\h_{33}\\h_{34}\\h_{41}\\h_{42}\\h_{43}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1^\prime\\y_1^\prime\\z_1^\prime\\x_2^\prime\\y_2^\prime\\z_2^\prime\\x_3^\prime\\y_3^\prime\\z_3^\prime\\x_4^\prime\\y_4^\prime\\z_4^\prime\\x_5^\prime\\y_5^\prime\\z_5^\prime\\\end{array}\right)$

両辺それぞれ行列 $\rm{A}$ 、 $\rm{X}$ 、 $\rm{B}$ の行列で書き換えると次式になる

$\rm{A}\rm{X}=\rm{B}$

ここで $\rm{A}$ 、 $\rm{B}$ は既知、 $\rm{X}$ が未知である
$\rm{A}$ が正方行列の場合
- $\rm{A}^{-1}\rm{B}=\rm{X}$ となるので、パラメータ(=ホモグラフィ)が求められる
$\rm{A}$ が非正方行列の場合
- 5点以上からホモグラフィを推定する場合は、 $\rm{A}$ は非正方行列になる

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