3次元座標から3次元座標への変換行列

前提条件†

変換前の3次元座標をAと変換後の3次元座標Bを
#mimetex(\text{A} = \left( \begin{array}{c}X\\Y\\Z\\1\end{array} \right))

#mimetex(\text{B} = \left( \begin{array}{c}X^{\prime}\\Y^{\prime}\\Z^{\prime}\\1\end{array} \right))
と定義する

変換行列をMとする。
変換行列Mは以下の様な特性を持つ
#mimetex(\text{B} = \text{M}\text{A})

#mimetex(\left( \begin{array}{c}X^{\prime}\\Y^{\prime}\\Z^{\prime}\\1\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc}M_{11}&M_{12}&M_{13}&M_{14}\\M_{21}&M_{22}&M_{23}&M_{24}\\M_{31}&M_{32}&M_{33}&M_{34}\\0&0&0&1\end{array}\right)\left( \begin{array}{c}X\\Y\\Z\\1\end{array} \right))
さらに、Mの内部も回転行列Rと並進成分tに分けられる
#mimetex(\left( \begin{array}{c}X^{\prime}\\Y^{\prime}\\Z^{\prime}\\1\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} & \text{R} & & \text{t}\\0&0&0&1\end{array}\right)\left( \begin{array}{c}X\\Y\\Z\\1\end{array} \right))

閲覧したサイトには
- まず行と列が逆になっていた
- 4行目（サイトでは4列目）が &mimetex(\left(0 0 0 1\right));　となるような制約が抜けていた
ので、その辺りの制約を加えるとなると、以下の様にする必要がある。
#mimetex(\left( \begin{array}{c}X^{\prime}\\Y^{\prime}\\Z^{\prime}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccccccccc} X&Y&Z&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&X&Y&Z&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&X&Y&Z&1 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} M_{11}\\M_{12}\\M_{13}\\M_{14}\\M_{21}\\M_{22}\\M_{23}\\M_{24}\\M_{31}\\M_{32}\\M_{33}\\M_{34} \end{array}\right))
1つの点同士の対応で3本の方程式が成り立つ。
- 真ん中の行列が3行存在する、という意味。
点を増やせば、増やした数だけ、真ん中の行列は点数*3行ずつ増え、左辺は1列ずつ増える
真ん中の行列の逆行列を求めたいので、最低4点必要になる。
これで、ようやく真ん中の行列の逆行列が求められる。
この逆行列を左辺に右側からかければ、欲しい変換行列パラメータ M が求まる。