3次元座標から3次元座標への変換行列

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• ちょっとネットで見かけた3次元から3次元への変換行列。
• といっても、スケールや直交性は維持されてるので、単なる視点変換の話。

前提条件 †

• 変換前の3次元座標をAと変換後の3次元座標Bを
  
  
• と定義する

変換行列 †

• 変換行列をMとする。
• 変換行列Mは以下の様な特性を持つ
  
  
• さらに、Mの内部も回転行列Rと並進成分tに分けられる
  

ツッコミ †

• 閲覧したサイトには
  • まず行と列が逆になっていた
  • 4行目（サイトでは4列目）が 　となるような制約が抜けていた
• ので、その辺りの制約を加えるとなると、以下の様にする必要がある。
  
• 1つの点同士の対応で3本の方程式が成り立つ。
  • 真ん中の行列が3行存在する、という意味。
• 点を増やせば、増やした数だけ、真ん中の行列は点数*3行ずつ増え、左辺は1列ずつ増える
• 真ん中の行列の逆行列を求めたいので、最低4点必要になる。
  
• これで、ようやく真ん中の行列の逆行列が求められる。
• この逆行列を左辺に右側からかければ、欲しい変換行列パラメータ M が求まる。
  

その他/考察 †

• 本当なら、スケーリング係数も考えないと行けないのだが、両方の点の最後の要素が1、行列の右下の要素も1という制約を守るなら、これでもいける
• あと、本当は回転行列はそれぞれノルムが1となる列ベクトル3本から成り立ってるはずで、その辺りの制約を入れればもっと精度がよくなる。
• 多分、ノイズが乗る/乗らないという話以前に、変換行列の4行目に対する制約を導入すれば、ノイズが多少は減るはず。
• 回転行列の制約を式に導入する方法に関しては未勉強なので、追々。